Катер прошел 39 км по течению реки и 28 км против течения реки за то же время, за которое он мог пройти по озеру 70 км. Скорость течения реки – 3 км/ч. Тогда собственная скорость катера равна _______ км/ч.

Обозначим собственную скорость катера за $$x$$ км/ч.

Скорость катера по течению реки равна $$(x + 3)$$ км/ч, а против течения - $$(x - 3)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{39}{x+3}$$ ч.

Время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{28}{x-3}$$ ч.

Время, затраченное на путь по озеру, равно $$\frac{70}{x}$$ ч.

Из условия задачи известно, что время, затраченное на путь по течению и против течения, равно времени, затраченному на путь по озеру. Составим уравнение:

$$\frac{39}{x+3} + \frac{28}{x-3} = \frac{70}{x}$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{39x(x-3) + 28x(x+3)}{x(x+3)(x-3)} = \frac{70(x+3)(x-3)}{x(x+3)(x-3)}$$

Умножим обе части уравнения на $$x(x+3)(x-3)$$ и раскроем скобки:

$$39x^2 - 117x + 28x^2 + 84x = 70(x^2 - 9)$$ $$67x^2 - 33x = 70x^2 - 630$$ $$3x^2 + 33x - 630 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 3:

$$x^2 + 11x - 210 = 0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 121 + 840 = 961$$ $$\sqrt{D} = 31$$ $$x_1 = \frac{-11 + 31}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{-11 - 31}{2} = \frac{-42}{2} = -21$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x = 10$$ км/ч.

Ответ: 10