Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
2. Катер прошел 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколь- ко ему потребовалось бы, если бы он шел 22 км по озе- ру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?
Ответ:
Привет! Сейчас решим задачу про катер.
Пусть \( v \) – собственная скорость катера (км/ч). Скорость течения реки равна 2 км/ч.
Тогда скорость катера против течения будет \( v - 2 \) км/ч, а по течению \( v + 2 \) км/ч.
Время, затраченное на путь против течения, равно \( \frac{15}{v-2} \) ч.
Время, затраченное на путь по течению, равно \( \frac{6}{v+2} \) ч.
Общее время, затраченное на весь путь, равно \( \frac{15}{v-2} + \frac{6}{v+2} \) ч.
Время, затраченное на путь по озеру, равно \( \frac{22}{v} \) ч.
По условию задачи, время, затраченное на весь путь, равно времени, затраченному на путь по озеру:
\[\frac{15}{v-2} + \frac{6}{v+2} = \frac{22}{v}\]
Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю:
\[\frac{15(v+2) + 6(v-2)}{(v-2)(v+2)} = \frac{22}{v}\]
Раскроем скобки:
\[\frac{15v + 30 + 6v - 12}{v^2 - 4} = \frac{22}{v}\]
\[\frac{21v + 18}{v^2 - 4} = \frac{22}{v}\]
Теперь умножим обе части уравнения на \( v(v^2 - 4) \):
\[(21v + 18)v = 22(v^2 - 4)\]
Раскроем скобки:
\[21v^2 + 18v = 22v^2 - 88\]
Перенесем все в одну сторону:
\[0 = v^2 - 18v - 88\]
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
\[D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-88) = 324 + 352 = 676\]
Так как дискриминант положительный, у нас будет два корня:
\[v_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{18 + 26}{2} = \frac{44}{2} = 22\]
\[v_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{18 - 26}{2} = \frac{-8}{2} = -4\]
Так как скорость не может быть отрицательной, то \( v = -4 \) не подходит.
Значит, собственная скорость катера равна 22 км/ч.
Ответ: 22 км/ч
Вот и все! Ты отлично справился с этой задачей! Не останавливайся на достигнутом!
