2. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если извест- но, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Пусть $$v$$ - собственная скорость катера (км/ч).

Скорость течения реки $$3$$ км/ч.

Тогда скорость катера против течения: $$(v-3)$$ км/ч.

Скорость катера по течению: $$(v+3)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь против течения: $$\frac{12}{v-3}$$ ч.

Время, затраченное на путь по течению: $$\frac{5}{v+3}$$ ч.

Общее время: $$\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3}$$ ч.

Время, затраченное на путь по озеру: $$\frac{18}{v}$$ ч.

По условию задачи:

$$\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{12(v+3) + 5(v-3)}{(v-3)(v+3)} = \frac{18}{v}$$

$$\frac{12v + 36 + 5v - 15}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}$$

$$\frac{17v + 21}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}$$

$$v(17v+21) = 18(v^2 - 9)$$

$$17v^2 + 21v = 18v^2 - 162$$

$$v^2 - 21v - 162 = 0$$

$$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089 = 33^2$$

$$v_1 = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27$$

$$v_2 = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v = 27$$ км/ч.

Ответ: 27 км/ч