2. Катер прошел 12 км против течення реки и 5 км по теченню. При этом он затратня столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если извест- но, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

Ответ: 12 км/ч

Решение задачи

Пусть x - собственная скорость катера (км/ч). Тогда:

• Скорость против течения: x - 3 (км/ч)
• Скорость по течению: x + 3 (км/ч)
• Время против течения: 12 / (x - 3) (ч)
• Время по течению: 5 / (x + 3) (ч)
• Время по озеру: 18 / x (ч)

Составляем уравнение:

\[\frac{12}{x-3} + \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x}\]

Приводим к общему знаменателю и решаем:

\[\frac{12(x+3) + 5(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{18}{x}\]

\[\frac{12x + 36 + 5x - 15}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}\]

\[\frac{17x + 21}{x^2 - 9} = \frac{18}{x}\]

18(x² - 9) = x(17x + 21)

18x² - 162 = 17x² + 21x

x² - 21x - 162 = 0

Решаем квадратное уравнение:

• D = (-21)² - 4 * 1 * (-162) = 441 + 648 = 1089
• x₁ = (21 + 33) / 2 = 54 / 2 = 27
• x₂ = (21 - 33) / 2 = -12 / 2 = -6 (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Собственная скорость катера равна 27 км/ч.

Проверим:

\[\frac{12}{27-3} + \frac{5}{27+3} = \frac{12}{24} + \frac{5}{30} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

\[\frac{18}{27} = \frac{2}{3}\]

Условие выполняется.

Ответ: 27 км/ч