Решение задачи

Пусть $$v$$ – собственная скорость катера (в км/ч). Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Время, которое катер затратил на путь против течения: $$\frac{15}{v - 2}$$

Время, которое катер затратил на путь по течению: $$\frac{6}{v + 2}$$

Общее время, затраченное на путь по реке: $$\frac{15}{v - 2} + \frac{6}{v + 2}$$

Время, которое катер затратил бы на путь по озеру: $$\frac{22}{v}$$

По условию задачи, время на реке равно времени на озере, следовательно:

$$\frac{15}{v - 2} + \frac{6}{v + 2} = \frac{22}{v}$$

Умножим обе части уравнения на $$v(v - 2)(v + 2)$$ для избавления от дробей:

$$15v(v + 2) + 6v(v - 2) = 22(v - 2)(v + 2)$$ $$15v^2 + 30v + 6v^2 - 12v = 22(v^2 - 4)$$ $$21v^2 + 18v = 22v^2 - 88$$ $$0 = v^2 - 18v - 88$$

Решим квадратное уравнение $$v^2 - 18v - 88 = 0$$:

$$D = (-18)^2 - 4(1)(-88) = 324 + 352 = 676$$

$$v_1 = \frac{-(-18) + \sqrt{676}}{2(1)} = \frac{18 + 26}{2} = \frac{44}{2} = 22$$

$$v_2 = \frac{-(-18) - \sqrt{676}}{2(1)} = \frac{18 - 26}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 22$$ км/ч.

Ответ: Собственная скорость катера равна 22 км/ч.