Катер прошёл из пункта A по реке расстояние 5 км, затем повернул назад под углом 30° к направлению своего первоначального движения. После этого он двигался до тех пор, пока направление на пункт A не стало составлять угол 90° с направлением его движения. Каково перемещение катера, какое расстояние до пункта A ему ещё следует пройти?

Обозначим через B точку, в которой катер повернул, а через C — точку, где направление на пункт A стало перпендикулярно направлению движения катера.

Так как катер повернул назад под углом 30° к первоначальному направлению, угол между направлениями движения от A до B и от B к C равен \(150^\circ\).

В треугольнике ABC:

• \(AB=5\) км;
• \(\angle B=150^\circ\);
• в момент остановки \(\angle C=90^\circ\).

Следовательно, треугольник ABC прямоугольный, а угол \(A=30^\circ\). Сторона \(AB=5\) км является гипотенузой.

Перемещение катера — это отрезок \(AC\):

\[AC=AB\cdot\cos 30^\circ=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{5\sqrt3}{2}\approx4.33\text{ км}.\]

Расстояние от катера до пункта A в конечной точке равно этому же отрезку.

Ответ: перемещение катера составляет \(\frac{5\sqrt3}{2}\) км (примерно 4,33 км); расстояние до пункта A — \(\frac{5\sqrt3}{2}\) км (примерно 4,33 км).