21. Катер прошёл от пункта А до пункта В, расстояние между которыми составляет 72 км, пробыл в пункте В 30 минут и вернулся обратно в пункт А через 7,5 часов после отплытия из пункта А. Какова скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 21 км/ч?

Решение:

Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч. Тогда скорость катера по течению равна $$(21 + x)$$ км/ч, а против течения – $$(21 - x)$$ км/ч.

Время, затраченное на путь из A в B по течению, равно $$\frac{72}{21 + x}$$ часов.

Время, затраченное на путь из B в A против течения, равно $$\frac{72}{21 - x}$$ часов.

Известно, что катер пробыл в пункте B 30 минут, что составляет 0,5 часа.

Общее время в пути составляет 7,5 часов. Таким образом, можем составить уравнение:

$$\frac{72}{21 + x} + \frac{72}{21 - x} + 0.5 = 7.5$$

Упростим уравнение:

$$\frac{72}{21 + x} + \frac{72}{21 - x} = 7$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{72(21 - x) + 72(21 + x)}{(21 + x)(21 - x)} = 7$$ $$\frac{72(21 - x + 21 + x)}{441 - x^2} = 7$$ $$\frac{72 \cdot 42}{441 - x^2} = 7$$ $$72 \cdot 42 = 7(441 - x^2)$$ $$3024 = 2887 - 7x^2$$ $$7x^2 = 2887 - 3024$$ $$7x^2 = -137$$

Что-то пошло не так. Проверим условие еще раз.

Общее время в пути составляет 7,5 часов. Таким образом, можем составить уравнение:

$$\frac{72}{21 + x} + \frac{72}{21 - x} + 0.5 = 7.5$$

Упростим уравнение:

$$\frac{72}{21 + x} + \frac{72}{21 - x} = 7$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{72(21 - x) + 72(21 + x)}{(21 + x)(21 - x)} = 7$$ $$\frac{72(21 - x + 21 + x)}{441 - x^2} = 7$$ $$\frac{72 \cdot 42}{441 - x^2} = 7$$ $$72 \cdot 42 = 7(441 - x^2)$$ $$3024 = 2887 - 7x^2$$ $$7x^2 = 2887 - 3024$$ $$7x^2 = -137$$

Произошла ошибка в вычислениях! Давайте пересчитаем:

$$7x^2 = 7 \cdot 441 - 3024$$ $$7x^2 = 3087 - 3024$$ $$7x^2 = 63$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x = 3$$ км/ч.

Ответ: 3 км/ч