1. Катер прошёл по течению реки 60 км и, развернувшись, преодолел обратно 48 км, потратив на весь маршрут 7 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 4 км/ч. 2. После добавления к водному раствору сахара 150 г воды концентрация сахара в растворе уменьшилась на 1%. Найдите первоначальную массу раствора, если известно, что он содержал 30 г сахара. 3. Известно, что а < b. Может ли разность а – b выражаться числом: a) – 12,5; б) (-0,3)5; в) (-1)20.

1. Задача про катер

Пусть x км/ч - собственная скорость катера.

Тогда скорость по течению реки равна (x + 4) км/ч, а против течения - (x - 4) км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно 60 / (x + 4) часов, а против течения - 48 / (x - 4) часов.

Общее время в пути составляет 7 часов, поэтому можем составить уравнение:

\[\frac{60}{x + 4} + \frac{48}{x - 4} = 7\]

Решаем уравнение:

\[\frac{60(x - 4) + 48(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} = 7\] \[\frac{60x - 240 + 48x + 192}{x^2 - 16} = 7\] \[\frac{108x - 48}{x^2 - 16} = 7\] \[108x - 48 = 7(x^2 - 16)\] \[108x - 48 = 7x^2 - 112\] \[7x^2 - 108x - 64 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

Шаг 1: Вычисляем дискриминант:

\[D = (-108)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 64 = 11664 + 1792 = 13456\]

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\[x_1 = \frac{108 + \sqrt{13456}}{14} = \frac{108 + 116}{14} = \frac{224}{14} = 16\] \[x_2 = \frac{108 - \sqrt{13456}}{14} = \frac{108 - 116}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость катера равна 16 км/ч.

Ответ: 16 км/ч - собственная скорость катера

2. Задача про раствор сахара

Пусть x г - первоначальная масса раствора.

Концентрация сахара в первоначальном растворе равна 30 / x.

После добавления 150 г воды масса раствора станет (x + 150) г, а концентрация сахара станет 30 / (x + 150).

Известно, что концентрация сахара уменьшилась на 1%, то есть:

\[\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 150} = \frac{1}{100}\]

Решаем уравнение:

\[\frac{30(x + 150) - 30x}{x(x + 150)} = \frac{1}{100}\] \[\frac{30x + 4500 - 30x}{x^2 + 150x} = \frac{1}{100}\] \[\frac{4500}{x^2 + 150x} = \frac{1}{100}\] \[450000 = x^2 + 150x\] \[x^2 + 150x - 450000 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

Шаг 1: Вычисляем дискриминант:

\[D = 150^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-450000) = 22500 + 1800000 = 1822500\]

Шаг 2: Находим корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-150 + \sqrt{1822500}}{2} = \frac{-150 + 1350}{2} = \frac{1200}{2} = 600\] \[x_2 = \frac{-150 - \sqrt{1822500}}{2} = \frac{-150 - 1350}{2} = \frac{-1500}{2} = -750\]

Так как масса не может быть отрицательной, то первоначальная масса раствора равна 600 г.

Проверяем:

Шаг 1: Находим концентрацию до добавления воды:

\[\frac{30}{600} = 0.05 = 5\%\]

Шаг 2: Находим концентрацию после добавления воды:

\[\frac{30}{600 + 150} = \frac{30}{750} = 0.04 = 4\%\]

Шаг 3: Вычисляем разность:

\[5\% - 4\% = 1\%\]

Значит, все верно!

Ответ: 600 г - первоначальная масса раствора

3. Задача про разность чисел

Если a < b, то разность a - b всегда будет отрицательной.

• a) -12,5 - это отрицательное число, поэтому a - b может выражаться этим числом.
• б) (-0,3)⁵ - это отрицательное число, так как отрицательное число в нечетной степени остается отрицательным, поэтому a - b может выражаться этим числом.
• в) (-1)²⁰ - это положительное число, так как отрицательное число в четной степени становится положительным, поэтому a - b не может выражаться этим числом.

Ответ: а) и б) - да, в) - нет.