Катер прошёл по течению реки 32 км, повернув обратно, он прошёл ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим собственную скорость катера как \( x \) км/ч.
2. Шаг 2: Определим скорость катера по течению реки.
   Скорость по течению = \( x + 5 \) км/ч.
3. Шаг 3: Определим скорость катера против течения реки.
   Скорость против течения = \( x - 5 \) км/ч.
4. Шаг 4: Рассчитаем время, затраченное на движение по течению.
   Время = Расстояние / Скорость
   Время по течению = \( \frac{32}{x+5} \) часа.
5. Шаг 5: Рассчитаем время, затраченное на движение против течения.
   Время против течения = \( \frac{24}{x-5} \) часа.
6. Шаг 6: Составим уравнение, учитывая, что общее время в пути составило 4 часа.
   \( \frac{32}{x+5} + \frac{24}{x-5} = 4 \)
7. Шаг 7: Решим уравнение. Умножим обе части на \( (x+5)(x-5) \) для избавления от знаменателей:
   \( 32(x-5) + 24(x+5) = 4(x+5)(x-5) \)
   \( 32x - 160 + 24x + 120 = 4(x^2 - 25) \)
   \( 56x - 40 = 4x^2 - 100 \)
   Перенесем все члены в одну сторону:
   \( 4x^2 - 56x - 60 = 0 \)
   Разделим на 4:
   \( x^2 - 14x - 15 = 0 \)
8. Шаг 8: Решим квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \) и корни \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
   \( a=1, b=-14, c=-15 \)
   \( D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \)
   \( \sqrt{D} = \sqrt{256} = 16 \)
   \( x_1 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 1} = \frac{30}{2} = 15 \)
   \( x_2 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \)
9. Шаг 9: Выберем подходящий корень. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( x = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч