Катер в 8:40 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 48 км от А. Пробыв 40 минут в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 16:20 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 2 км/ч. Ответ запишите в виде целого числа или в виде десятичной дроби.

Решение задачи:

Давай разберем эту задачу по шагам, чтобы всё стало понятно!

1. Время в пути:

   Сначала определим, сколько всего времени катер был в пути. Он вышел в 8:40 и вернулся в 16:20. Разница между этим временем и будет временем в пути:

   • 16:20 - 8:40 = 7 часов 40 минут.
   • Переведем это время в часы: 7 часов + 40/60 часа = 7 + 2/3 часа = 23/3 часа.
2. Время, проведенное в пути к пункту B и обратно:

   Катер пробыл в пункте B 40 минут. Это время нужно вычесть из общего времени в пути, чтобы узнать, сколько времени он именно плыл:

   • Время в пути (плыл) = Общее время в пути - Время в пункте B
   • Время в пути (плыл) = 23/3 часа - 40/60 часа = 23/3 часа - 2/3 часа = 21/3 часа = 7 часов.
3. Расстояние в одну сторону:

   Расстояние от пункта А до пункта В составляет 48 км.

4. Скорость по течению и против течения:

   Пусть собственная скорость катера будет $$v$$ км/ч, а скорость течения реки – 2 км/ч.

   • Скорость катера по течению (из А в В) = $$v + 2$$ км/ч.
   • Скорость катера против течения (из В в А) = $$v - 2$$ км/ч.
5. Составляем уравнение:

   Мы знаем, что расстояние = скорость × время. Поездка туда и обратно заняла 7 часов.

   • Расстояние (А -> В) + Расстояние (В -> А) = Общее расстояние, которое проплыл катер.
   • (Скорость по течению × Время по течению) + (Скорость против течения × Время против течения) = Общее расстояние.
   • В задаче сказано, что расстояние между пунктами 48 км, и катер вернулся в тот же день. Значит, общее расстояние, пройденное катером, равно 2 * 48 км = 96 км.
   • Но мы знаем, что время в пути было 7 часов. Таким образом, можно составить уравнение:
   • $$(v + 2) \times t_1 + (v - 2) \times t_2 = 96$$
   • Мы знаем, что $$t_1 + t_2 = 7$$ часов.
   • Давай подумаем иначе. Общее время движения катера (без учета стоянки) — 7 часов.
   • Расстояние от А до В = 48 км.
   • Расстояние от В до А = 48 км.
   • Пусть время движения из А в В будет $$t_1$$, а из В в А — $$t_2$$.
   • $$t_1 + t_2 = 7$$
   • $$48 = (v + 2) t_1$$
   • $$48 = (v - 2) t_2$$
   • Отсюда: $$t_1 = \frac{48}{v+2}$$ и $$t_2 = \frac{48}{v-2}$$
   • Подставим это в уравнение времени:
   • $$\frac{48}{v+2} + \frac{48}{v-2} = 7$$
   • Теперь решим это уравнение:
   • $$48 \times (v-2) + 48 \times (v+2) = 7 \times (v+2) \times (v-2)$$
   • $$48v - 96 + 48v + 96 = 7 \times (v^2 - 4)$$
   • $$96v = 7v^2 - 28$$
   • $$7v^2 - 96v - 28 = 0$$
   • Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (-96)^2 - 4 \times 7 \times (-28) = 9216 + 784 = 10000$$
   • $$\sqrt{D} = 100$$
   • $$v_1 = \frac{96 + 100}{2 \times 7} = \frac{196}{14} = 14$$
   • $$v_2 = \frac{96 - 100}{2 \times 7} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}$$
   • Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ: 14 км/ч