Катер за 4 часа проплыл 12 км против течения и 28 км по течению. Найди скорость катера по озеру, если скорость течения равна 4 км/ч.

Давай решим эту задачу вместе! Нам нужно найти скорость катера в озере, зная его скорость против и по течению реки, а также скорость течения.

Обозначим скорость катера в озере как $$v$$, а скорость течения реки как $$u$$. Нам известно, что $$u = 4$$ км/ч.

Когда катер плывет против течения, его скорость уменьшается на скорость течения. Когда плывет по течению, его скорость увеличивается на скорость течения.

Пусть $$t_1$$ - время, которое катер плыл против течения, а $$t_2$$ - время, которое катер плыл по течению. Из условия задачи известно, что общее время $$t_1 + t_2 = 4$$ часа. Также известно, что против течения он проплыл 12 км, а по течению - 28 км.

Теперь мы можем записать уравнения для расстояний:

• Против течения: $$(v - u) cdot t_1 = 12$$
• По течению: $$(v + u) cdot t_2 = 28$$

Подставим известное значение скорости течения $$u = 4$$ в уравнения:

• $$(v - 4) cdot t_1 = 12$$
• $$(v + 4) cdot t_2 = 28$$

Выразим время $$t_1$$ и $$t_2$$ из этих уравнений:

• $$t_1 = \frac{12}{v - 4}$$
• $$t_2 = \frac{28}{v + 4}$$

Теперь подставим эти выражения в уравнение для общего времени: $$t_1 + t_2 = 4$$

$$\frac{12}{v - 4} + \frac{28}{v + 4} = 4$$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{12(v + 4) + 28(v - 4)}{(v - 4)(v + 4)} = 4$$

$$\frac{12v + 48 + 28v - 112}{v^2 - 16} = 4$$

$$\frac{40v - 64}{v^2 - 16} = 4$$

Умножим обе части уравнения на $$v^2 - 16$$:

$$40v - 64 = 4(v^2 - 16)$$

$$40v - 64 = 4v^2 - 64$$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$4v^2 - 40v = 0$$

Разделим обе части на 4:

$$v^2 - 10v = 0$$

Вынесем v за скобки:

$$v(v - 10) = 0$$

Получаем два возможных решения: $$v = 0$$ или $$v = 10$$. Очевидно, что скорость катера не может быть равна 0, поэтому выбираем $$v = 10$$.

Ответ: 10 км/ч