Катер за 4 ч движения по течению реки и 3 ч по против течения реки прошёл 148 км. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки, если за 5 ч движения против течения реки он проходит на 50 км больше, чем за 2 ч движения по течению реки.

Решение:

Пусть \(x\) — скорость катера в стоячей воде (км/ч), а \(y\) — скорость течения реки (км/ч).

Скорость катера по течению: \( x + y \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( x - y \) км/ч.

Составим систему уравнений:

1. \( 4(x + y) + 3(x - y) = 148 \)

   \( 4x + 4y + 3x - 3y = 148 \)

   \( 7x + y = 148 \)

2. \( 5(x - y) = 2(x + y) + 50 \)

   \( 5x - 5y = 2x + 2y + 50 \)

   \( 5x - 2x - 5y - 2y = 50 \)

   \( 3x - 7y = 50 \)

Из первого уравнения выразим \(y\):

\( y = 148 - 7x \)

Подставим \(y\) во второе уравнение:

\( 3x - 7(148 - 7x) = 50 \)

\( 3x - 1036 + 49x = 50 \)

\( 52x = 50 + 1036 \)

\( 52x = 1086 \)

\( x = \frac{1086}{52} = \frac{543}{26} \approx 20.88 \) км/ч — скорость катера в стоячей воде.

Найдем скорость течения реки:

\( y = 148 - 7x = 148 - 7 \times \frac{543}{26} = 148 - \frac{3801}{26} = \frac{148 \times 26 - 3801}{26} = \frac{3848 - 3801}{26} = \frac{47}{26} \approx 1.81 \) км/ч — скорость течения реки.

Проверка:

Скорость по течению: \( \frac{543}{26} + \frac{47}{26} = \frac{590}{26} \approx 22.69 \) км/ч.

Скорость против течения: \( \frac{543}{26} - \frac{47}{26} = \frac{496}{26} \approx 19.08 \) км/ч.

Первое условие: \( 4 \times \frac{590}{26} + 3 \times \frac{496}{26} = \frac{2360 + 1488}{26} = \frac{3848}{26} = 148 \) км.

Второе условие:

5 ч против течения: \( 5 \times \frac{496}{26} = \frac{2480}{26} \approx 95.38 \) км.

2 ч по течению: \( 2 \times \frac{590}{26} = \frac{1180}{26} \approx 45.38 \) км.

Разница: \( 95.38 - 45.38 = 50 \) км.

Ответ: скорость катера в стоячей воде — \( \frac{543}{26} \) км/ч, скорость течения реки — \( \frac{47}{26} \) км/ч.