Катер за 5 ч по течению и 7 ч против течения проходит 260 км. Найдите скорость течения и собственную скорость катера, если за 5 ч по течению катер проходит столько же, сколько за 6 ч против течения.

Решение:

Обозначим собственную скорость катера как \( v \) км/ч, а скорость течения реки как \( u \) км/ч.

Скорость катера по течению: \( v + u \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( v - u \) км/ч.

Расстояние, пройденное катером по течению за 5 часов: \( 5(v + u) \) км.

Расстояние, пройденное катером против течения за 7 часов: \( 7(v - u) \) км.

По условию задачи, сумма этих расстояний равна 260 км:

\( 5(v + u) + 7(v - u) = 260 \)

Раскроем скобки:

\( 5v + 5u + 7v - 7u = 260 \)

Приведём подобные слагаемые:

\( 12v - 2u = 260 \)

Разделим обе части уравнения на 2:

\( 6v - u = 130 \) (1)

По второму условию задачи, за 5 часов по течению катер проходит такое же расстояние, как за 6 часов против течения:

\( 5(v + u) = 6(v - u) \)

Раскроем скобки:

\( 5v + 5u = 6v - 6u \)

Перенесём члены уравнения так, чтобы слагаемые с \( v \) оказались в одной стороне, а с \( u \) — в другой:

\( 5u + 6u = 6v - 5v \)

\( 11u = v \) (2)

Теперь подставим значение \( v \) из уравнения (2) в уравнение (1):

\( 6(11u) - u = 130 \)

\( 66u - u = 130 \)

\( 65u = 130 \)

\( u = \frac{130}{65} \)

\( u = 2 \) км/ч — скорость течения.

Теперь найдём собственную скорость катера \( v \), используя уравнение (2):

\( v = 11u \)

\( v = 11 \cdot 2 \)

\( v = 22 \) км/ч — собственная скорость катера.

Проверим результат:

По течению за 5 ч: \( 5(22 + 2) = 5 \cdot 24 = 120 \) км.

Против течения за 7 ч: \( 7(22 - 2) = 7 \cdot 20 = 140 \) км.

Общее расстояние: \( 120 + 140 = 260 \) км. (Верно)

Расстояние по течению за 5 ч: \( 5(22 + 2) = 120 \) км.

Расстояние против течения за 6 ч: \( 6(22 - 2) = 6 \cdot 20 = 120 \) км. (Верно)

Ответ: собственная скорость катера 22 км/ч, скорость течения 2 км/ч.