Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 24 и 74. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть катет \( a = BC = 24 \) и гипотенуза \( c = AB = 74 \). Нам нужно найти высоту \( h = CD \), проведённую к гипотенузе.

Сначала найдём второй катет \( b = AC \) по теореме Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

\[ 24^2 + b^2 = 74^2 \]

\[ 576 + b^2 = 5476 \]

\[ b^2 = 5476 - 576 \]

\[ b^2 = 4900 \]

\[ b = \sqrt{4900} = 70 \)

Теперь, когда известны оба катета и гипотенуза, мы можем найти площадь треугольника двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \)

2. Через гипотенузу и высоту: \( S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \)

Приравниваем площади:

\[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h \]

\[ a \cdot b = c \cdot h \]

\[ h = \frac{a \cdot b}{c} \]

Подставляем известные значения:

\[ h = \(\frac{24 \cdot 70}{74}\) = \(\frac{1680}{74}\) \)

Сокращаем дробь:

\[ h = \(\frac{840}{37}\) \)

Вычислим десятичное значение:

\[ h \(\approx\) 22.70 \)

Ответ: Высота, проведённая к гипотенузе, равна \( \frac{840}{37} \) (или приблизительно 22.70).