Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 25 и 65. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$a$$ и $$b$$, а гипотенуза равна $$c$$. Высота, проведённая к гипотенузе, равна $$h$$. Из условия задачи $$a = 25$$ и $$c = 65$$.

Сначала найдём второй катет $$b$$ по теореме Пифагора: $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{65^2 - 25^2} = \sqrt{(65-25)(65+25)} = \sqrt{40 \cdot 90} = \sqrt{3600} = 60$$.

Площадь треугольника можно вычислить двумя способами: $$S = \frac{1}{2}ab$$ и $$S = \frac{1}{2}ch$$. Приравнивая эти выражения, получаем $$ab = ch$$, откуда $$h = \frac{ab}{c}$$.

Подставляем значения: $$h = \frac{25 \cdot 60}{65} = \frac{1500}{65} = \frac{300}{13}$$.