Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 25 и 65. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть данный прямоугольный треугольник — \( ABC \), где \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть катет \( AC = 25 \) и гипотенуза \( AB = 65 \).

1. Найдем второй катет \( BC \) по теореме Пифагора:
2. \( BC^2 = AB^2 - AC^2 \)
3. \( BC^2 = 65^2 - 25^2 \)
4. \( BC^2 = 4225 - 625 \)
5. \( BC^2 = 3600 \)
6. \( BC = \sqrt{3600} = 60 \).
7. Площадь треугольника \( ABC \) можно вычислить двумя способами:
8. \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 60 = 25 \cdot 30 = 750 \)
9. Также площадь равна \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \), где \( h \) — высота, проведённая к гипотенузе.
10. \( 750 = \frac{1}{2} \cdot 65 \cdot h \)
11. \( 1500 = 65 \cdot h \)
12. \( h = \frac{1500}{65} \)
13. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
14. \( h = \frac{300}{13} \).

Ответ: \( \frac{300}{13} \).