Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 35 и 125. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где C - прямой угол. Катет AC = 35, гипотенуза AB = 125. Найдем второй катет BC по теореме Пифагора: $$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{125^2 - 35^2} = \sqrt{(125-35)(125+35)} = \sqrt{90 \cdot 190} = \sqrt{17100} = 30\sqrt{19}$$.

Площадь треугольника можно вычислить двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$$ и $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$$, где h - высота, проведённая к гипотенузе.

Приравнивая площади: $$AC \cdot BC = AB \cdot h \implies h = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{35 \cdot 30\sqrt{19}}{125} = \frac{7 \cdot 30\sqrt{19}}{25} = \frac{7 \cdot 6\sqrt{19}}{5} = \frac{42\sqrt{19}}{5}$$.