Катет прямоугольного треугольника равен 42, а косинус прилежащего угла равен \frac{21}{29}. Найдите другие стороны этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник, где a = 42 — известный катет, c — гипотенуза, b — другой катет, и cos(α) = \frac{21}{29}, где α — угол, прилежащий к катету a.

Шаг 1: Вспомним определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: cos(α) = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза}.

Шаг 2: Выразим гипотенузу c через косинус и известный катет a:

cos(α) = \frac{a}{c}, следовательно, c = \frac{a}{cos(α)}

Шаг 3: Подставим известные значения:

c = \frac{42}{\frac{21}{29}} = 42 \cdot \frac{29}{21} = 2 \cdot 29 = 58

Таким образом, гипотенуза c = 58.

Шаг 4: Теперь найдем другой катет b, используя теорему Пифагора: a² + b² = c².

Шаг 5: Выразим b²:

b² = c² - a²

Шаг 6: Подставим значения:

b² = 58² - 42² = 3364 - 1764 = 1600

Шаг 7: Извлечем квадратный корень, чтобы найти b:

b = \sqrt{1600} = 40

Итак, другой катет b = 40.