75 Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые ги- потенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Решение: Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $$3x$$ и $$4x$$. По теореме Пифагора: $$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$$ $$9x^2 + 16x^2 = 2500$$ $$25x^2 = 2500$$ $$x^2 = 100$$ $$x = 10$$ Тогда катеты равны: $$a = 3x = 30$$ мм и $$b = 4x = 40$$ мм. Пусть $$a_c$$ и $$b_c$$ - отрезки, на которые высота делит гипотенузу, причем $$a_c$$ прилежит к катету a, а $$b_c$$ - к катету b. Используем соотношения: $$a^2 = a_c \cdot c$$ и $$b^2 = b_c \cdot c$$ Подставляем известные значения: $$30^2 = a_c \cdot 50$$ и $$40^2 = b_c \cdot 50$$ $$900 = 50a_c$$ и $$1600 = 50b_c$$ $$a_c = \frac{900}{50} = 18$$ мм и $$b_c = \frac{1600}{50} = 32$$ мм. Ответ: 18 мм, 32 мм.