5. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 32. Из точки М, делящейгипотенузу пополам, восставлен к плоскости треугольника перпендикуляр МК, равный 12. Найдите расстояние от точки К до каждого катета.

Пусть ABC – заданный прямоугольный треугольник, где ∠C = 90°, AC = 18, BC = 32. M – середина гипотенузы AB, MK – перпендикуляр к плоскости ABC, MK = 12. Требуется найти расстояние от точки K до катетов AC и BC.

1) Обозначим через K₁ и K₂ основания перпендикуляров, опущенных из точки K на катеты AC и BC соответственно. Тогда K₁K перпендикулярна AC, и K₂K перпендикулярна BC. Так как MK перпендикулярна плоскости ABC, то MK перпендикулярна AC и BC.

2) Рассмотрим треугольник AK₁C. Он прямоугольный, так как K₁K перпендикулярна AC. По теореме Пифагора, AK₁² = AC² + CK₁². Аналогично, в прямоугольном треугольнике BK₂C, BK₂² = BC² + CK₂².

3) Поскольку M – середина гипотенузы AB, то AM = MB. Пусть O – середина AC, тогда MO – средняя линия треугольника ABC и MO = BC/2 = 16. Аналогично, если N – середина BC, то MN – средняя линия и MN = AC/2 = 9.

4) Рассмотрим прямоугольник MOK₁C. MK₁² = MK² + OK₁² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400, следовательно, MK₁ = 20. Аналогично, MK₂² = MK² + NK₂² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225, следовательно, MK₂ = 15.

5) Таким образом, расстояние от точки K до катета AC равно 20, а расстояние от точки K до катета BC равно 15.

Ответ: 20, 15