1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ - 25. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм. 4. Найдите sina, если cos a ==. AB=17. 2 3 5. Найдите тангенс угла А треугольника АВС с прямым углом С, если ВС = 8, Часть В (запишите решение и ответ) 6. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см. 7. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см. Часть С (запишите дано, постройте рисунок, подробное решение и ответ) 8. В прямоугольнике ABCD на сторонах ВС и AD отмечены точки Е и F так, что BE : EC = 3:4, AF : FD = 2:3. Найдите отношение площадей четырехугольников ABEF и DCEF.

Часть 1

1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 см и 12 см. Найдем гипотенузу. По теореме Пифагора: \[c^2 = a^2 + b^2\] \[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\] Гипотенуза равна 13 см.

Ответ: 13 см

2. Сторона прямоугольника равна 7, диагональ равна 25. Найдем другую сторону. В прямоугольнике диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника. Пусть \(a = 7\) и \(c = 25\). Тогда: \[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\] Другая сторона равна 24.

Ответ: 24

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 дм, один из катетов равен 15 дм. Найдем другой катет. \[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\] Другой катет равен 20 дм.

Ответ: 20 дм

4. Найдем \(\sin a\), если \(\cos a = \frac{2}{3}\). Используем основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 a + \cos^2 a = 1\] \[\sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\] \[\sin a = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

Ответ: \[\frac{\sqrt{5}}{3}\]

5. Найдем тангенс угла A треугольника ABC с прямым углом C, если \(BC = 8\), \(AB = 17\). Сначала найдем сторону AC по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\] Теперь найдем тангенс угла A: \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}\]

Ответ: \(\frac{8}{15}\)

Часть B

6. Найдем высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см. В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Высота \(h\) может быть найдена по теореме Пифагора: \[h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

Ответ: \[3\sqrt{3}\] см

7. Найдем площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота. Найдем высоту трапеции. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Получим два прямоугольных треугольника. Разница между большим и меньшим основанием равна \(17 - 5 = 12\). Эта разница делится пополам между двумя прямоугольными треугольниками, то есть \(\frac{12}{2} = 6\). Теперь найдем высоту по теореме Пифагора: \[h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\] Теперь найдем площадь трапеции: \[S = \frac{5 + 17}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88\]

Ответ: 88 см²

Часть C

8. В прямоугольнике ABCD на сторонах BC и AD отмечены точки E и F так, что BE : EC = 3:4, AF : FD = 2:3. Найдите отношение площадей четырехугольников ABEF и DCEF. Пусть \(AB = CD = h\) (высота прямоугольника), и \(BC = AD = a\) (основание прямоугольника). Тогда \(BE = \frac{3}{7}a\) и \(EC = \frac{4}{7}a\). Также \(AF = \frac{2}{5}a\) и \(FD = \frac{3}{5}a\). Площадь четырехугольника ABEF равна: \[S_{ABEF} = \frac{BE + AF}{2} \cdot AB = \frac{\frac{3}{7}a + \frac{2}{5}a}{2} \cdot h = \frac{\frac{15+14}{35}a}{2} \cdot h = \frac{29}{70}ah\] Площадь четырехугольника DCEF равна: \[S_{DCEF} = \frac{EC + FD}{2} \cdot CD = \frac{\frac{4}{7}a + \frac{3}{5}a}{2} \cdot h = \frac{\frac{20+21}{35}a}{2} \cdot h = \frac{41}{70}ah\] Отношение площадей ABEF и DCEF равно: \[\frac{S_{ABEF}}{S_{DCEF}} = \frac{\frac{29}{70}ah}{\frac{41}{70}ah} = \frac{29}{41}\]

Ответ: \(\frac{29}{41}\)