1. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 8 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 5, а диагональ - 13. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите синус, косинус, тангенс угла А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, если: а) АС = 4, АВ = 5; 6) AC-15, BC=8. 4. В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен 6, a противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: а) b = 5, ∠B = 45°; 6) b =30, ∠B=60°; в) в =6√3, ∠B=30°.

1. Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника:

• По теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \), где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.
• Подставляем значения: \( c^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 \).
• \( c = \sqrt{289} = 17 \) см.

Ответ: Гипотенуза равна 17 см.

2. Найдём другую сторону прямоугольника:

• Пусть \( a = 5 \) — одна сторона, \( d = 13 \) — диагональ, \( b \) — другая сторона.
• По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = d^2 \).
• \( b^2 = d^2 - a^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \).
• \( b = \sqrt{144} = 12 \).

Ответ: Другая сторона равна 12.

3. Найдём синус, косинус и тангенс угла A:

а) \( AC = 4, AB = 5 \)

• \( AB \) — гипотенуза, \( AC \) — прилежащий катет. Найдём противолежащий катет \( BC \).
• По теореме Пифагора: \( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \).
• \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6 \).
• \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8 \).
• \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4} = 0.75 \).

Ответ: \( \sin A = 0.6, \cos A = 0.8, \tan A = 0.75 \).

б) \( AC = 15, BC = 8 \)

• \( AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \).
• \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \).
• \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \).
• \( \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} \).

Ответ: \( \sin A = \frac{8}{17}, \cos A = \frac{15}{17}, \tan A = \frac{8}{15} \).

4. Найдём другой катет и гипотенузу:

а) \( b = 5, \angle B = 45^\circ \)

• Так как \( \angle B = 45^\circ \), то \( \angle A = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \). Значит, треугольник равнобедренный и \( a = b = 5 \).
• \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).

Ответ: Другой катет равен 5, гипотенуза равна \( 5\sqrt{2} \).

б) \( b = 30, \angle B = 60^\circ \)

• \( \tan B = \frac{b}{a} \), значит, \( a = \frac{b}{\tan B} = \frac{30}{\tan 60^\circ} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \).
• \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + 30^2} = \sqrt{300 + 900} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \).

Ответ: Другой катет равен \( 10\sqrt{3} \), гипотенуза равна \( 20\sqrt{3} \).

в) \( b = 6\sqrt{3}, \angle B = 30^\circ \)

• \( \tan B = \frac{b}{a} \), значит, \( a = \frac{b}{\tan B} = \frac{6\sqrt{3}}{\tan 30^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 18 \).
• \( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{324 + 108} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \).

Ответ: Другой катет равен 18, гипотенуза равна \( 12\sqrt{3} \).