Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Вычисли: 1) радиус окружности, описанной около треугольника; 2) радиус окружности, вписанной в треугольник.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Она связана с прямоугольным треугольником и радиусами вписанной и описанной окружностей. Не переживай, я объясню всё так, чтобы было понятно!

Что нам дано?

• Прямоугольный треугольник.
• Катеты: a = 8 см и b = 15 см.

Что нужно найти?

• R — радиус описанной окружности.
• r — радиус вписанной окружности.

1. Находим радиус описанной окружности (R)

У прямоугольного треугольника есть классное свойство: центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, а сама гипотенуза является диаметром этой окружности. Значит, чтобы найти радиус R, нам нужно сначала найти длину гипотенузы (c), а потом разделить её пополам.

Для нахождения гипотенузы используем теорему Пифагора: a² + b² = c²

• Подставляем наши значения: 8² + 15² = c²
• Вычисляем квадраты: 64 + 225 = c²
• Складываем: 289 = c²
• Находим корень: c = √289
• Получаем: c = 17 см (это длина гипотенузы)

Теперь находим радиус описанной окружности:

R = c / 2

R = 17 см / 2 = 8.5 см

2. Находим радиус вписанной окружности (r)

Для нахождения радиуса вписанной окружности есть несколько формул. Мы можем использовать формулу, которая связывает площадь треугольника, полупериметр и радиус вписанной окружности: S = p * r, где S — площадь, p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

Сначала найдем площадь треугольника:

S = (a * b) / 2

S = (8 см * 15 см) / 2 = 120 см² / 2 = 60 см²

Теперь найдем полупериметр (p). Периметр (P) — это сумма всех сторон: a + b + c. Полупериметр — это половина периметра.

P = 8 см + 15 см + 17 см = 40 см

p = P / 2 = 40 см / 2 = 20 см

Теперь используем формулу S = p * r, чтобы найти r:

r = S / p

r = 60 см² / 20 см = 3 см

Есть и другая, более простая формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: r = (a + b - c) / 2

Давай проверим:

r = (8 см + 15 см - 17 см) / 2 = (23 см - 17 см) / 2 = 6 см / 2 = 3 см

Формулы дали одинаковый результат, это здорово!

Ответ:

• 1) Радиус описанной окружности R = 8.5 см.
• 2) Радиус вписанной окружности r = 3 см.