1. Катеты прямоугольного треугольника равны 25 см и 60см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 45, а диагональ – 51. Найдите другую сторону прямоугольника 3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 91 дм, а второй катет равен 35 дм. 4. Найдите синус, косинус, тангенс углов А и В прямоугольного треугольника АВС, если :а) АС = 3, AB = 5; б) BC = 3√3, AB=6√2. 5. В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен в, а противолежащий уголравен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: а) b =10, ∠B= 60°; б) b =4√3, ∠B=30°.

Ответ: 1) 65 см; 2) 24; 3) 84 дм; 4) смотри решение; 5) смотри решение

Решение:

1. Дано прямоугольный треугольник с катетами 25 см и 60 см. Найти гипотенузу.

По теореме Пифагора:

где a и b - катеты, c - гипотенуза.

Подставляем значения:

Гипотенуза равна 65 см.

2. Дано прямоугольник со стороной 45 и диагональю 51. Найти другую сторону.

Пусть a = 45, d = 51 (диагональ), b - другая сторона.

По теореме Пифагора:

Выражаем b:

Подставляем значения:

Другая сторона равна 24.

3. Дано прямоугольный треугольник с гипотенузой 91 дм и катетом 35 дм. Найти другой катет.

Пусть c = 91 (гипотенуза), a = 35 (катет), b - другой катет.

По теореме Пифагора:

Выражаем b:

Подставляем значения:

Другой катет равен 84 дм.

4. Дано прямоугольный треугольник ABC.

а) AC = 3, AB = 5. Значит, BC = \(\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\).

sin A = \(\frac{BC}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8\)

cos A = \(\frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6\)

tg A = \(\frac{BC}{AC} = \frac{4}{3}\)

sin B = \(\frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} = 0.6\)

cos B = \(\frac{BC}{AB} = \frac{4}{5} = 0.8\)

tg B = \(\frac{AC}{BC} = \frac{3}{4}\)

б) BC = 3\(\sqrt{3}\), AB = 6\(\sqrt{2}\). Значит, AC = \(\sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{72 - 27} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\).

sin A = \(\frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}\)

cos A = \(\frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}\)

tg A = \(\frac{BC}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}\)

sin B = \(\frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}\)

cos B = \(\frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}\)

tg B = \(\frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}\)

5. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен B. Найти другой катет треугольника и гипотенузу.

a) b = 10, ∠B = 60°.

Пусть b = 10 - катет, ∠B = 60° - противолежащий угол.

Тогда:

Другой катет a = \(\frac{b}{tg B} = \frac{10}{tg 60°} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\)

Гипотенуза c = \(\frac{b}{sin B} = \frac{10}{sin 60°} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}\)

б) b = 4\(\sqrt{3}\), ∠B = 30°.

Пусть b = 4\(\sqrt{3}\) - катет, ∠B = 30° - противолежащий угол.

Тогда:

Другой катет a = \(\frac{b}{tg B} = \frac{4\sqrt{3}}{tg 30°} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12\)

Гипотенуза c = \(\frac{b}{sin B} = \frac{4\sqrt{3}}{sin 30°} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3}\)

Ответ: 1) 65 см; 2) 24; 3) 84 дм; 4) смотри решение; 5) смотри решение