Кати есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 15 см, если после первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта попрыгунчик подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей?

Решение:

Эта задача на геометрическую прогрессию. Начальная высота \( h_1 = 480 \) см. Каждый следующий отскок уменьшает высоту в 2 раза. Нам нужно найти такой номер отскока \( n \), при котором высота \( h_n \) станет меньше 15 см.

Формула высоты после \( n \)-го отскока: \( h_n = h_1 \times q^{n-1} \), где \( q = 0.5 \) (так как высота уменьшается в 2 раза).

Подставим известные значения:

\( 480 \times (0.5)^{n-1} < 15 \)

Разделим обе части на 480:

\( (0.5)^{n-1} < \frac{15}{480} \)

Упростим дробь:

\( \frac{15}{480} = \frac{1}{32} \)

Получаем:

\( (0.5)^{n-1} < \frac{1}{32} \)

Так как \( 0.5 = \frac{1}{2} \) и \( 32 = 2^5 \), то:

\( (\frac{1}{2})^{n-1} < \frac{1}{2^5} \)

\( \frac{1}{2^{n-1}} < \frac{1}{2^5} \)

Чтобы неравенство выполнялось, показатель степени в знаменателе слева должен быть больше показателя степени в знаменателе справа:

\( n-1 > 5 \)

\( n > 6 \)

Таким образом, после 6-го отскока высота станет меньше 15 см. Нам нужно найти номер отскока, начиная с которого высота меньше 15 см. Так как \( n > 6 \), то первый такой отскок — это 7-й.

1. Высота после 1-го отскока: \( h_1 = 480 \) см.
2. Высота после 2-го отскока: \( h_2 = 480 \times 0.5 = 240 \) см.
3. Высота после 3-го отскока: \( h_3 = 240 \times 0.5 = 120 \) см.
4. Высота после 4-го отскока: \( h_4 = 120 \times 0.5 = 60 \) см.
5. Высота после 5-го отскока: \( h_5 = 60 \times 0.5 = 30 \) см.
6. Высота после 6-го отскока: \( h_6 = 30 \times 0.5 = 15 \) см.
7. Высота после 7-го отскока: \( h_7 = 15 \times 0.5 = 7.5 \) см.

Высота станет меньше 15 см после 6-го отскока, то есть на 7-м отскоке.

Ответ: 7.