Катя купила арбуз, дыню, виноград и инжир. Арбуз стоил $$\frac{3}{20}$$ всей покупки, дыня 280 рублей, виноград $$\frac{3}{8}$$ всей покупки, инжир - 290 рублей. Сколько всего рублей заплатила Катя?

Привет, ребята! Давайте решим эту интересную задачу вместе.

1. **Понимание задачи:**
Катя купила разные фрукты и нам нужно узнать общую стоимость её покупки.

2. **Обозначения:**
Пусть общая стоимость всех покупок будет $$x$$ рублей.

3. **Выражение стоимостей арбуза и винограда:**
* Арбуз стоит $$\frac{3}{20}x$$ рублей.
* Виноград стоит $$\frac{3}{8}x$$ рублей.

4. **Составление уравнения:**
Мы знаем стоимость дыни (280 рублей) и инжира (290 рублей), а также доли от общей стоимости арбуза и винограда. Следовательно, можно записать уравнение:

$$\frac{3}{20}x + 280 + \frac{3}{8}x + 290 = x$$

5. **Решение уравнения:**
Чтобы решить уравнение, приведем дроби к общему знаменателю, который равен 40.

$$\frac{6}{40}x + 280 + \frac{15}{40}x + 290 = x$$

Соберем все члены с $$x$$ в одной стороне, а числа в другой:

$$\frac{6}{40}x + \frac{15}{40}x - x = -280 - 290$$

$$\frac{21}{40}x - x = -570$$

$$\frac{21}{40}x - \frac{40}{40}x = -570$$

$$-\frac{19}{40}x = -570$$

Теперь найдем $$x$$:

$$x = \frac{-570}{-\frac{19}{40}}$$

$$x = 570 \cdot \frac{40}{19}$$

$$x = \frac{570 \cdot 40}{19}$$

$$x = \frac{22800}{19}$$

$$x = 1200$$

6. **Ответ:**
Итак, общая стоимость всех покупок Кати составляет **1200 рублей**.

Ответ: 1200 рублей.