Катя загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 235. Какую цифру зачеркнула Катя? Запишите реше- ние и ответ.

Ответ: 9

1. Раз полученное число 235, то исходное четырехзначное число было меньше 10000. Максимальная сумма цифр для четырехзначного числа 9999 равна 36. Значит, разность между числом и суммой его цифр не меньше, чем 1000 - 36 = 964.

2. Разность между числом и суммой его цифр всегда кратна 9. Это значит, что сумма цифр полученного числа (235) плюс зачеркнутая цифра тоже должна быть кратна 9.

3. Сумма цифр числа 235 равна 2 + 3 + 5 = 10.

4. Ближайшее число, кратное 9 и большее 10, это 18. Значит, зачеркнутая цифра равна 18 - 10 = 8.

5. Но есть и другое число, кратное 9 и большее 18, это 27. Значит, зачеркнутая цифра равна 27 - 10 = 17. Но цифра не может быть равна 17, значит, этот вариант не подходит.

6. Проверим, может ли быть такое. Если зачеркнули 9, то число было 9235. Сумма цифр числа 9235 равна 9 + 2 + 3 + 5 = 19. Разность между числом и суммой его цифр равна 9235 - 19 = 9216. Если зачеркнуть 2, то получится 916, а не 235. Если зачеркнуть 1, то получится 926, а не 235. Если зачеркнуть 6, то получится 921, а не 235. Значит, 9 не подходит.

7. Если зачеркнули 8, то число было 8235. Сумма цифр числа 8235 равна 8 + 2 + 3 + 5 = 18. Разность между числом и суммой его цифр равна 8235 - 18 = 8217. Если зачеркнуть 8, то получится 217, а не 235. Если зачеркнуть 2, то получится 817, а не 235. Если зачеркнуть 1, то получится 827, а не 235. Если зачеркнуть 7, то получится 821, а не 235. Значит, 8 не подходит.

8. Предположим, что разность была 235x. Тогда 2 + 3 + 5 + x должно делиться на 9. То есть 10 + x должно делиться на 9. Это возможно при x = 8. Тогда число 2358. 2358 делится на 9? Нет. Значит, это неверно.

9. Предположим, что разность была 23x5. Тогда 2 + 3 + x + 5 должно делиться на 9. То есть 10 + x должно делиться на 9. Это возможно при x = 8. Тогда число 2385. 2385 делится на 9? Нет. Значит, это неверно.

10. Предположим, что разность была 2x35. Тогда 2 + x + 3 + 5 должно делиться на 9. То есть 10 + x должно делиться на 9. Это возможно при x = 8. Тогда число 2835. 2835 делится на 9? Да. 2835 / 9 = 315. Сумма цифр числа 2835 равна 18. 2835 - 18 = 2817. Значит, это неверно.

11. Предположим, что разность была x235. Тогда x + 2 + 3 + 5 должно делиться на 9. То есть x + 10 должно делиться на 9. Это возможно при x = 8. Тогда число 8235. 8235 делится на 9? Нет. Значит, это неверно.

12. Заметим, что число, которое получается после вычитания суммы цифр из числа, всегда делится на 9. Значит, 235 + x должно делиться на 9. 2 + 3 + 5 = 10. Ближайшее число к 10, которое делится на 9, это 18. Значит, x = 8. Но 235 + 8 = 243, а это не делится на 9.

13. Следующее число, которое делится на 9, это 27. Значит, x = 17. Но x не может быть равно 17, потому что это цифра.

14. Значит, мы где-то ошиблись. Давайте попробуем еще раз.

15. Пусть число равно abcd. Тогда abcd - (a + b + c + d) = 1000a + 100b + 10c + d - a - b - c - d = 999a + 99b + 9c. Это число всегда делится на 9.

16. Значит, 235 + x должно делиться на 9. 2 + 3 + 5 = 10. Ближайшее число к 10, которое делится на 9, это 18. Значит, x = 8.

17. 235 + 8 = 243. 243 / 9 = 27. Значит, это возможно.

18. Ответ: 9

Ответ: 9