Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов A и B этой трапеции пересекаются в точке K, биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Найдите периметр трапеции ABCD, если длина отрезка KE равна 28.

Пусть трапеция ABCD, где AD и BC – основания. Продлим AD и BC. Пусть биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K, а биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Дано, что KE = 28. Требуется найти периметр трапеции ABCD.

Свойство 1: Биссектриса внешнего угла отсекает на продолжении основания трапеции отрезок, равный боковой стороне.

Рассмотрим биссектрисы внешних углов при вершинах C и D. Пусть они пересекаются в точке E. Обозначим точки пересечения биссектрисы угла D с продолжением стороны BC за M, а биссектрисы угла C с продолжением стороны AD за N.

Тогда CD = CE + DE. Аналогично, AB = AK + BK. Сумма боковых сторон равна CE + DE + AK + BK.

Пусть биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E. Тогда по свойству биссектрисы внешнего угла трапеции, EC = BC и ED = AD. Таким образом, CE + DE = BC + AD.

Так как KE = EC + CD, а KE = 28, то CD = KE - EC = 28 - EC. Аналогично, KE = DE + DK. Но из условия EC + ED = BC + AD.

Тогда KE = EC + CD = DE + DK.

Свойство 2: Сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований.

Периметр трапеции P = AB + BC + CD + AD.

Из условия задачи KE = 28. Докажем, что периметр трапеции равен удвоенной длине отрезка KE.

Периметр P = AB + BC + CD + AD = (AK + BK) + BC + CD + AD.

Свойство 3: Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон.

Тогда AD + BC = AB + CD.

Так как биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке E, то EC = BC и ED = AD. Отсюда следует, что KE = EC + CD = BC + CD и KE = ED + DK = AD + DK.

Так как KE = 28, то BC + CD = 28 и AD + DK = 28.

В равнобедренной трапеции KE = (BC + AD) / 2. Поэтому, если бы трапеция была равнобедренной, AD + BC = 2KE = 56. Тогда периметр был бы равен 56 + AB + CD.

Рассмотрим сумму оснований и боковых сторон: BC + AD + AB + CD = P

Нужно доказать, что P = 2 * KE.

Допустим AD + BC = AB + CD. Тогда периметр P = 2 * (AD + BC) = 2 * (AB + CD). Тогда KE = (AD + BC) / 2.

Согласно свойствам биссектрис внешних углов трапеции, сумма оснований равна сумме боковых сторон. Поэтому периметр равен удвоенной длине KE.

$$P = 2 * KE = 2 * 28 = 56$$

Ответ: 56