Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов трапеции пересекаются в точке К, биссектрисы внешних углов C и D пересекаются в точке Е. Найдите длину отрезка КЕ, если длина отрезка AB равна 28.

Решение:

Пусть трапеция ABCD имеет основания AD и BC (AD || BC). Стороны AB и CD продолжены до пересечения в точке, обозначенной далее как P.

Рассмотрим биссектрисы внешних углов при основании AD. Пусть биссектрисы углов при вершинах A и D пересекаются в точке K. Отрезок AD является основанием трапеции. Внешние углы при вершинах A и D смежны с внутренними углами при этих вершинах. Сумма внутренних углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180 градусов. Пусть \( \angle DAB = \alpha \) и \( \angle CDA = \delta \).

Внешний угол при вершине A равен \( 180^\circ - \alpha \), внешний угол при вершине D равен \( 180^\circ - \delta \).

Биссектриса внешнего угла при A делит этот угол пополам, то есть образует угол \( \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \) с продолжением стороны DA (или с прямой AB). Аналогично, биссектриса внешнего угла при D образует угол \( 90^\circ - \frac{\delta}{2} \) с продолжением стороны DA (или с прямой CD).

Рассмотрим треугольник ADK. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Углы при основании AD равны \( 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \) и \( 90^\circ - \frac{\delta}{2} \).

Сумма углов при основании K треугольника ADK: \( (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) + (90^\circ - \frac{\delta}{2}) = 180^\circ - \frac{\alpha + \delta}{2} \).

Это не даёт простого решения. Переформулируем задачу, предполагая, что AD и BC — основания, и рассматриваем биссектрисы *внешних* углов при *боковых* сторонах, которые продолжаются. Однако, условие гласит: «Каждое основание AD и BC трапеции ABCD продолжено в обе стороны.» Это означает, что мы рассматриваем продолжения AD и BC, а не AB и CD.

Если AD и BC — основания, то AD || BC. Биссектрисы внешних углов при AD пересекаются в точке K. Биссектрисы внешних углов при BC пересекаются в точке, скажем, M. Если продолжить боковые стороны AB и CD, они пересекутся в точке P. Внешние углы при основании трапеции, когда боковые стороны продолжены, дадут интересные свойства. Например, биссектрисы внешних углов при основаниях трапеции, если они пересекаются, образуют новую трапецию, основания которой равны половине разности оснований исходной трапеции. Или, если рассматривать биссектрисы внешних углов при боковых сторонах, то они пересекаются на средней линии, параллельной основаниям.

В условии задачи сказано: «Биссектрисы внешних углов трапеции пересекаются в точке К». Вероятнее всего, имеется в виду, что K — точка пересечения биссектрис внешних углов при ОДНОМ из оснований, например AD. И аналогично, E — точка пересечения биссектрис внешних углов при другом основании BC.

Если K — точка пересечения биссектрис внешних углов при основании AD, то K лежит на средней линии трапеции. Расстояние от K до AD равно половине расстояния от K до BC (если AD < BC, и K ближе к AD). Более того, биссектрисы внешних углов при основании трапеции параллельны, если трапеция равнобедренная. Но здесь не сказано, что трапеция равнобедренная.

Есть теорема: Биссектрисы внешних углов при боковых сторонах трапеции пересекаются на средней линии. Пусть AB и CD продолжаются до пересечения в точке P. Биссектрисы внешних углов при A и B пересекаются на средней линии, параллельной основаниям. Аналогично для углов при C и D.

В условии задачи четко сказано: «Биссектрисы внешних углов трапеции пересекаются в точке К». Это неточно. Далее: «биссектрисы внешних углов С и D пересекаются в точке Е.» Это значит, что E — точка пересечения биссектрис внешних углов при основании BC, если BC — нижнее основание.

Если E — точка пересечения биссектрис внешних углов при основании BC, то E лежит на средней линии трапеции. Пусть K — точка пересечения биссектрис внешних углов при основании AD.

Есть свойство: Биссектрисы внешних углов трапеции, прилежащих к одному основанию, параллельны. Это верно, если трапеция не равнобедренная. И они пересекаются на средней линии.

Для точки K (биссектрисы внешних углов при AD) и точки E (биссектрисы внешних углов при BC), если они лежат на средней линии, то расстояние между K и E будет равно длине средней линии. Но это не всегда так. Точки K и E могут лежать на продолжении средней линии.

Важное свойство: Расстояние между точками пересечения биссектрис внешних углов при основаниях трапеции равно полуразности оснований. То есть, если AD и BC — основания, и K — точка пересечения биссектрис внешних углов при AD, а E — при BC, то \( KE = \frac{|AD - BC|}{2} \). Но при этом K и E лежат на некоторой прямой, перпендикулярной основаниям, проходящей через середину средней линии.

Теперь посмотрим на условие