Каждый год родители дарят своему ребёнку на день рождения столько тысяч рублей, сколько ему исполняется лет. Суммарно за все годы накопилось 465 000 рублей. Сколько лет имениннику сейчас?

Решение:

Пусть \( x \) — возраст именинника. Сумма подаренных денег за \( x \) лет составляет сумму арифметической прогрессии, где первый член \( a_1 = 1 \) (тысяча рублей в первый год) и \( x \) — количество членов прогрессии (количество лет). Разность прогрессии \( d = 1 \) (каждый год сумма увеличивается на 1 тысячу рублей).

Сумма \( S_x \) арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \( S_x = \frac{a_1 + a_x}{2} \cdot x \)

Где \( a_x = a_1 + (x-1)d \). В нашем случае \( a_x = 1 + (x-1) · 1 = x \).

Подставляем \( a_x = x \) в формулу суммы: \( S_x = \frac{1 + x}{2} \cdot x \)

Нам известно, что суммарно накопилось 465 000 рублей. Следовательно, \( S_x = 465 \) (тысяч рублей).

Получаем уравнение: \( \frac{1 + x}{2} \cdot x = 465 \)

Умножаем обе части уравнения на 2: \( (1 + x) · x = 930 \)

Раскрываем скобки: \( x + x^2 = 930 \)

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения: \( x^2 + x - 930 = 0 \)

Находим дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 · 1 · (-930) = 1 + 3720 = 3721 \)

Находим \( \sqrt{D} = \sqrt{3721} = 61 \).

Находим корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 61}{2} = \frac{60}{2} = 30 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 61}{2} = \frac{-62}{2} = -31 \)

Так как возраст не может быть отрицательным, выбираем положительный корень.

Ответ: Имениннику 30 лет.