Каждый из двух кубов с ребром 1 и 2 разрезали на несколько частей. Оказалось, что все части имеют одинаковый объем. Каким могло быть общее количество частей?

Решение:

Объем куба с ребром 1 равен \( 1^3 = 1 \). Объем куба с ребром 2 равен \( 2^3 = 8 \).

Пусть \( n_1 \) — количество частей, на которые разрезали куб с ребром 1, а \( n_2 \) — количество частей, на которые разрезали куб с ребром 2. Объем каждой части первого куба равен \( \frac{1}{n_1} \), а каждой части второго куба равен \( \frac{8}{n_2} \).

По условию, все части имеют одинаковый объем, значит:

\[ \frac{1}{n_1} = \frac{8}{n_2} \]

Отсюда следует, что \( n_2 = 8n_1 \).

Общее количество частей равно \( N = n_1 + n_2 = n_1 + 8n_1 = 9n_1 \).

Это означает, что общее количество частей должно делиться на 9. Проверим предложенные варианты:

• 2017: 2 + 0 + 1 + 7 = 10 (не делится на 9)
• 2015: 2 + 0 + 1 + 5 = 8 (не делится на 9)
• 2012: 2 + 0 + 1 + 2 = 5 (не делится на 9)
• 2016: 2 + 0 + 1 + 6 = 9 (делится на 9)
• 2014: 2 + 0 + 1 + 4 = 7 (не делится на 9)
• 2013: 2 + 0 + 1 + 3 = 6 (не делится на 9)

Таким образом, единственным возможным вариантом является 2016.

Ответ: 2016