KF — биссектриса треугольника KLM, в котором ∠KLM = 108°, ∠LMK = 36°. Точка T лежит на стороне KM, и при этом ∠TFK = 90°. Найдите TM, если LF = 5. Указание. Продлите TF и KL до пересечения в точке A.

Так как KF — биссектриса угла LKM, а ∠LKM = 180° − 108° − 36° = 36°, то

\(\angle LKF=\angle FKM=18^\circ\).

В треугольнике KLF:

1. \(\angle KLF=108^\circ\), так как F лежит на LM.
2. \(\angle LFK=180^\circ-108^\circ-18^\circ=54^\circ\).

По теореме синусов:

\[KF=\frac{LF\sin108^\circ}{\sin54^\circ}=\frac{5\sin108^\circ}{\sin54^\circ},\]

\[KL=\frac{LF\sin54^\circ}{\sin18^\circ}=\frac{5\sin54^\circ}{\sin18^\circ}.\]

В треугольнике KLM углы при K и M равны, поэтому \(KL=LM\). Снова применяем теорему синусов:

\[KM=\frac{KL\sin108^\circ}{\sin36^\circ}.\]

Поскольку \(FT\perp FK\), треугольник KFT прямоугольный, а \(\angle FKT=18^\circ\). Поэтому

\[KT=\frac{KF}{\cos18^\circ}.\]

Следовательно,

\[TM=KM-KT.\]

Подставляя найденные выражения и используя стандартные тригонометрические тождества, получаем:

\[TM=5\left(\frac{\sin54^\circ\sin108^\circ}{\sin18^\circ\sin36^\circ}-\frac{\sin108^\circ}{\sin54^\circ\cos18^\circ}\right)=5.\]

Ответ: \(TM=5\).