КИМ 7 класс 2024-20... Контрольная работа по математике (для поступления в инженерный 7 класс) Демонстрационный вариант 1. Движение по реке. От двух пристаней, расстояние между которыми равно 67,9 км, вышли одновременно на встречу друг другу два катера. Катер, идущий по течению имеющий собственную скорость 12 км/ч, шёл до встречи 2,1ч, а катер, имеющий собственную скорость 16 км/ч, шёл до встречи 2,8ч. Найдите скорость течения реки? 2. Пропорциональное деление: а) Разделите число 3978 в отношении 2,4:15:6. б) В фирме «Три медведя» работают Папа, Мама и Сын. Их зарплаты относятся как 18:13: 9. При этом Папа получает на 21 тысячу рублей больше, чем их средняя зарплата. Найдите зарплату каждого работника 3. Среднее арифметическое: а) Катя взвешивала 3 яблока и 5 апельсинов: средний вес всех фруктов составил 160г, средний вес яблок 170г. Найдите средний вес апельсинов. б) Найдите среднюю скорость движения автобуса, двигавшегося в течении 1,2 ч со скоростью 60 к/ч и 2,8 ч со скоростью 80 км/ч. 4. Длина прямоугольника в 3 раза больше ширины. Длину уменьшили на 20%, а ширину уменьшили на 40%. Насколько процентов уменьшился периметр прямоугольника? 5. Решите задачу с помощью уравнения. Сумма трёх чисел равна 21. Второе число составляет 32% от первого числа, а третье число равно 1/4 от второго числа. Найдите каждое из трёх чисел. 6. Шоколадка имеет толщину 1 см длину 15 см и ширину 8 см. В магазине шоколадки уложили в коробку с дном размером 30см на 22см и высотой 10 см в 10 слоев. Сколько шоколадок покрыли дно коробки когда упаковщик уложил 1 слой? Сколько весит коробка, если 1 шоколадка весит 100 грамм? 7. В центре каждой грани куба со стороной 3 дециметра просверлили сквозные квадратные отверстия со стороной квадрата 1. Сколько нужно краски, чтобы покрасить всю поверхность оставшейся фигуры, если на квадратик со стороной 1 дециметр уходит 1 миллилитр краски? (Красить куб изнутри тоже нужно.) Ответ дайте в миллилитрах. 8. Вычислите: -(23-33+7.2-33) -(-0.125)-6-17.1-(-0.5) 6) 7,54-0,875 +16,92:23 9,6: (-2,6)+(-3,4) 9. Решите уравнение: а) 6,5(2,8a6,3)=3,9(2,1a-3,5) 19d+17 34-4 129 21 б) 10. В течение последних четырех лет Алексеев, Фомин, Дементьев и Иванов получали очередной отпуск в мае, июне, июле или в августе. Причем, если один из них отдыхал в мае, то другой в июне, третий в июле, а четвертый в августе. Каждый их них получал отпуск в эти четыре года в разные месяцы. Так в первый год Дементьев отдыхал в июле, во второй год в августе. Алексеев во второй год отдыхал в мае, Иванов в третий год в июне, а Фомин в четвертый год в июле. Кто в каком месяце отдыхал в каждом из этих четырех лет?

Ответ: Решение ниже

1. Движение по реке

• Пусть x – скорость течения реки (км/ч).
• Скорость катера, идущего по течению: 12 + x (км/ч).
• Скорость катера, идущего против течения: 16 - x (км/ч).
• Расстояние, пройденное первым катером: 2.1(12 + x) (км).
• Расстояние, пройденное вторым катером: 2.8(16 - x) (км).
• Общее расстояние: 67.9 (км).

Составим уравнение:

\[2.1(12 + x) + 2.8(16 - x) = 67.9\]

Показать решение уравнения

• Раскрываем скобки:

\[25.2 + 2.1x + 44.8 - 2.8x = 67.9\]

• Приводим подобные члены:

\[-0.7x = 67.9 - 25.2 - 44.8\]

\[-0.7x = -2.1\]

• Находим x:

\[x = \frac{-2.1}{-0.7} = 3\]

Ответ:

\[x = 3\] км/ч.

2. Пропорциональное деление

а) Разделите число 3978 в отношении 2,4:15:6.

• Сумма частей отношения: 2,4 + 15 + 6 = 23,4.
• Одна часть: 3978 / 23,4 = 170.

Числа:

• Первое число: 2,4 * 170 = 408.
• Второе число: 15 * 170 = 2550.
• Третье число: 6 * 170 = 1020.

б) Задача про зарплаты

• Отношение зарплат: 18:13:9.
• Пусть зарплата сына 9x, тогда зарплата мамы 13x, а зарплата папы 18x.
• Средняя зарплата: (18x + 13x + 9x) / 3 = 40x / 3.
• Папа получает на 21000 больше средней зарплаты: 18x - 40x / 3 = 21000.

Решение уравнения

• Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{54x - 40x}{3} = 21000\]

• Упрощаем:

\[\frac{14x}{3} = 21000\]

• Находим x:

\[14x = 63000\]

\[x = 4500\]

Зарплаты:

• Зарплата папы: 18 * 4500 = 81000 рублей.
• Зарплата мамы: 13 * 4500 = 58500 рублей.
• Зарплата сына: 9 * 4500 = 40500 рублей.

3. Среднее арифметическое

а) Средний вес апельсинов

• Общий вес фруктов: 160г * (3 + 5) = 1280г.
• Общий вес яблок: 170г * 3 = 510г.
• Общий вес апельсинов: 1280г - 510г = 770г.
• Средний вес апельсина: 770г / 5 = 154г.

б) Средняя скорость автобуса

• Общее расстояние: 1.2 * 60 + 2.8 * 80 = 72 + 224 = 296 км.
• Общее время: 1.2 + 2.8 = 4 часа.
• Средняя скорость: 296 / 4 = 74 км/ч.

4. Изменение периметра прямоугольника

• Пусть исходная ширина w, тогда длина 3w.
• Периметр: 2(3w + w) = 8w.
• Новая ширина: 0.6w (уменьшили на 40%).
• Новая длина: 0.8 * 3w = 2.4w (уменьшили на 20%).
• Новый периметр: 2(2.4w + 0.6w) = 6w.
• Изменение периметра: (8w - 6w) / 8w = 2w / 8w = 0.25 или 25%.

5. Задача с уравнением

• Пусть первое число x.
• Второе число: 0.32x.
• Третье число: 0.25 * 0.32x = 0.08x.
• Сумма чисел: x + 0.32x + 0.08x = 21.

Решение уравнения

• Упрощаем:

\[1.4x = 21\]

• Находим x:

\[x = \frac{21}{1.4} = 15\]

Числа:

• Первое число: 15.
• Второе число: 0.32 * 15 = 4.8.
• Третье число: 0.08 * 15 = 1.2.

6. Задача про шоколадки

• Размеры коробки: 30см x 22см.
• Размеры шоколадки: 15см x 8см.
• Количество шоколадок в одном слое: (30 / 15) * (22 / 8) = 2 * 2.75.

Поскольку количество шоколадок должно быть целым числом, то в одном слое поместится 2 * 2 = 4 шоколадки.

• Вес одной шоколадки: 100г.
• Вес 10 слоев шоколадок: 4 * 10 * 100г = 4000г = 4кг.

Вес коробки без шоколадок не указан, поэтому считаем, что коробка ничего не весит. Следовательно, вес коробки с шоколадками: 4 кг.

7. Задача про куб с отверстиями

• Размер стороны куба: 3 дм.
• Размер стороны отверстия: 1 дм.
• Площадь одной грани куба: 3 * 3 = 9 дм².
• Площадь отверстия: 1 * 1 = 1 дм².
• Площадь одной грани после вырезания отверстия: 9 - 1 = 8 дм².
• Площадь шести граней после вырезания отверстий: 6 * 8 = 48 дм².

Площадь внутренних поверхностей (боковых сторон отверстий): 4 * 1 * 6 = 24 дм² (6 отверстий, каждое состоит из 4 сторон). Общая площадь: 48 + 24 = 72 дм².

Так как на 1 дм² нужен 1 мл краски, то всего нужно 72 мл краски.

8. Вычислите:

а)

\[\frac{-\left(2.3 \cdot 3\frac{1}{3} + 7.2 \cdot 3\frac{1}{3}\right)}{-\left(\frac{11}{40} - 0.125\right) \cdot 6\frac{1}{3} - 17.1 \cdot \left(-0.5\right)} \cdot \frac{5}{16}\]

Решение

• Преобразуем смешанную дробь:

\[3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}\]

• Вычисляем числитель:

\[2.3 \cdot \frac{10}{3} + 7.2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{23}{3} + \frac{72}{3} = \frac{95}{3}\]

• Преобразуем десятичную дробь:

\[0.125 = \frac{1}{8}\]

• Вычисляем знаменатель:

\[\frac{11}{40} - \frac{1}{8} = \frac{11}{40} - \frac{5}{40} = \frac{6}{40} = \frac{3}{20}\]

\[6\frac{1}{3} = \frac{19}{3}\]

\[-\frac{3}{20} \cdot \frac{19}{3} - 17.1 \cdot \left(-0.5\right) = -\frac{19}{20} + 8.55 = -0.95 + 8.55 = 7.6\]

• Делим числитель на знаменатель:

\[\frac{-\frac{95}{3}}{7.6} = \frac{-95}{3 \cdot 7.6} = \frac{-95}{22.8} = -4.1666...\]

• Умножаем на дробь:

\[-4.1666... \cdot \frac{5}{16} = -\frac{20.8333}{16} = -1.3020833...\]

б)

\[\frac{7.54 - 0.875 + 16.92 : 2\frac{2}{7}}{9.6 : (-2.6) + \frac{5}{13} \cdot (-3.4)}\]

Решение

• Преобразуем смешанную дробь:

\[2\frac{2}{7} = \frac{16}{7}\]

• Вычисляем числитель:

\[16.92 : \frac{16}{7} = 16.92 \cdot \frac{7}{16} = 7.395\]

\[7.54 - 0.875 + 7.395 = 14.06\]

• Вычисляем знаменатель:

\[9.6 : (-2.6) = -3.69230769231\]

\[\frac{5}{13} \cdot (-3.4) = -1.30769230769\]

\[-3.69230769231 + (-1.30769230769) = -5\]

• Делим числитель на знаменатель:

\[\frac{14.06}{-5} = -2.812\]

9. Решите уравнение:

а)

\[6.5(2.8a - 6.3) = 3.9(2.1a - 3.5)\]

Решение

• Раскрываем скобки:

\[18.2a - 40.95 = 8.19a - 13.65\]

• Переносим подобные члены:

\[18.2a - 8.19a = 40.95 - 13.65\]

• Упрощаем:

\[10.01a = 27.3\]

• Делим обе части на 10.01:

\[a = \frac{27.3}{10.01} = \frac{2730}{1001} = 2.72727272727\]

б)

\[\frac{19d + 17}{12\frac{6}{7}} = \frac{3\frac{9}{13}d - 4}{2\frac{4}{13}}\]

Решение

• Преобразуем смешанные дроби:

\[12\frac{6}{7} = \frac{90}{7}\]

\[3\frac{9}{13} = \frac{48}{13}\]

\[2\frac{4}{13} = \frac{30}{13}\]

• Запишем уравнение:

\[\frac{19d + 17}{\frac{90}{7}} = \frac{\frac{48}{13}d - 4}{\frac{30}{13}}\]

• Избавляемся от знаменателей:

\[(19d + 17) \cdot \frac{7}{90} = (\frac{48}{13}d - 4) \cdot \frac{13}{30}\]

• Упрощаем:

\[\frac{7(19d + 17)}{90} = \frac{13(\frac{48}{13}d - 4)}{30}\]

\[\frac{133d + 119}{90} = \frac{48d - 52}{30}\]

• Избавляемся от знаменателей:

\[30(133d + 119) = 90(48d - 52)\]

• Раскрываем скобки:

\[3990d + 3570 = 4320d - 4680\]

• Переносим подобные члены:

\[4320d - 3990d = 3570 + 4680\]

• Упрощаем:

\[330d = 8250\]

• Делим обе части на 330:

\[d = \frac{8250}{330} = 25\]

10. Задача про отпуска

Составим таблицу, кто в каком месяце отдыхал:

• Дементьев:
• 1-й год - июль
• 2-й год - август
• Алексеев:
• 2-й год - май
• Иванов:
• 3-й год - июнь
• Фомин:
• 4-й год - июль

Из условия, что если кто-то отдыхал в мае, то другой в июне, третий в июле, а четвертый в августе, следует:

• Алексеев (май) - Иванов (июнь) - Фомин (июль) - Дементьев (август).

Заполним таблицу:

• Алексеев:
• 2-й год - май
• 1-й год - июнь
• 3-й год - июль
• 4-й год - август
• Иванов:
• 3-й год - июнь
• Фомин:
• 4-й год - июль

Так как каждый отдыхал в каждом из месяцев, то:

• Иванов в 1-й год отдыхал в августе, во 2-й в июле, а в 4-й в мае.
• Фомин в 1-й год отдыхал в июне, во 2-й в августе, а в 3-й в мае.
• Дементьев в 3-й год отдыхал в мае, а в 4-й в июне.

Итоговая таблица:

• Алексеев:
• 1-й год - июнь
• 2-й год - май
• 3-й год - июль
• 4-й год - август
• Фомин:
• 1-й год - июнь
• 2-й год - август
• 3-й год - май
• 4-й год - июль
• Иванов:
• 1-й год - август
• 2-й год - июль
• 3-й год - июнь
• 4-й год - май
• Дементьев:
• 1-й год - июль
• 2-й год - август
• 3-й год - май
• 4-й год - июнь

Ответ: Решение выше