9 кл. Контрольная работа « Правильные многоугольники» Вариант 3. №1) Дан правильный п-угольник. Внутренний угол равен 108°. Установите вид п-угольника. №2) Найдите радиус окружности, длина дуги которой равна 10π м и соответствует центральному углу 150°. №3) Найдите площадь сектора с углом 36°, длина дуги которого равна 2π см. №4 Прямоугольник с периметром, равным 56 см, стороны которого относятся как 3: 4, вписан в окружность. (см. рис.2) Найдите площадь закрашенной фигуры. №5) На рис.3 отрезок ВР- высота ДАВС. На отрезке ВР как на диаметре построен полукруг. Известно, что ВЕ =2√3 см, <ВРЕ = 60°. Найти площадь части полукруга, которая расположена внутри ДВРС.

№1

В правильном n-угольнике внутренний угол вычисляется по формуле: \[ \alpha = \frac{180°(n-2)}{n} \]

Из условия задачи известно, что внутренний угол равен 108°.

Составим уравнение и решим его, чтобы найти количество сторон n:

\[ \frac{180°(n-2)}{n} = 108° \]

\[ 180(n-2) = 108n \]

\[ 180n - 360 = 108n \]

\[ 72n = 360 \]

\[ n = 5 \]

Значит, это пятиугольник.

№2

Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \[ l = \frac{\pi R \alpha}{180} \], где R - радиус, \( \alpha \) - центральный угол в градусах.

Нам дано, что длина дуги равна 10\( \pi \) м, а центральный угол равен 150°.

Подставим значения в формулу и найдем радиус R:

\[ 10\pi = \frac{\pi R \cdot 150}{180} \]

\[ 10 = \frac{R \cdot 150}{180} \]

\[ R = \frac{10 \cdot 180}{150} = \frac{1800}{150} = 12 \]

Радиус окружности равен 12 м.

№3

Площадь сектора вычисляется по формуле: \[ S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} \], где R - радиус, \( \alpha \) - угол в градусах.

Длина дуги сектора равна 2\( \pi \) см, и угол равен 36°.

Сначала найдем радиус R:

\[ 2\pi = \frac{\pi R \cdot 36}{180} \]

\[ 2 = \frac{R \cdot 36}{180} \]

\[ R = \frac{2 \cdot 180}{36} = \frac{360}{36} = 10 \]

Радиус равен 10 см.

Теперь найдем площадь сектора:

\[ S = \frac{\pi (10)^2 \cdot 36}{360} = \frac{\pi \cdot 100 \cdot 36}{360} = \frac{3600\pi}{360} = 10\pi \]

Площадь сектора равна 10\( \pi \) см².

№4

Пусть стороны прямоугольника будут 3x и 4x. Периметр прямоугольника равен 2(3x + 4x) = 56 см.

\[ 2(3x + 4x) = 56 \]

\[ 2(7x) = 56 \]

\[ 14x = 56 \]

\[ x = 4 \]

Стороны прямоугольника: 3x = 3 * 4 = 12 см и 4x = 4 * 4 = 16 см.

Найдем диагональ прямоугольника, которая является диаметром описанной окружности:

\[ d = \sqrt{(12)^2 + (16)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \]

Радиус окружности равен половине диаметра: R = d/2 = 20/2 = 10 см.

Площадь окружности: \[ S_{окр} = \pi R^2 = \pi (10)^2 = 100\pi \]

Площадь прямоугольника: \[ S_{пр} = 12 \cdot 16 = 192 \]

Площадь закрашенной фигуры равна разности площади окружности и площади прямоугольника:

\[ S_{закр} = S_{окр} - S_{пр} = 100\pi - 192 \approx 314 - 192 = 122 \]

Площадь закрашенной фигуры равна 168 см²

№5

Дано: BE = 2√3 см, ∠ВРЕ = 60°

Треугольник ВРЕ - прямоугольный (ВР - высота).

В прямоугольном треугольнике ВРЕ: cos(60°) = PE/BE

PE = BE * cos(60°) = 2√3 * (1/2) = √3 см

ВР = BE * sin(60°) = 2√3 * (√3/2) = 3 см

Радиус полукруга r = BP/2 = 3/2 = 1.5 см

Площадь сектора ВРЕ равна: S_сектора = (π * r^2 * ∠BPE) / 360 = (π * 1.5^2 * 60) / 360 = (π * 2.25 * 60) / 360 = 135π / 360 = 3π/8 см²

Площадь треугольника ВРЕ равна: S_треугольника = (1/2) * PE * BP = (1/2) * √3 * 3 = (3√3)/2 см²

Площадь сегмента равна: S_сегмента = S_сектора - S_треугольника = (3π/8) - (3√3)/2

Площадь полукруга равна: S_полукруга = (π * r^2) / 2 = (π * 1.5^2) / 2 = (π * 2.25) / 2 = 2.25π / 2 = 9π/8 см²

Площадь части полукруга, расположенной внутри ДВРС равна: S = S_полукруга - S_сегмента = (9π/8) - (3π/8 - (3√3)/2) = (6π/8) + (3√3)/2 = (3π/4) + (3√3)/2

S = π см²