Класeнная работа \(\frac{1}{x-3)^{2}} + \frac{9}{(x+3)^{2}} - \frac{6}{x^{2}-9} = 0\)

Решение:

Для решения данного уравнения приведём все дроби к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \).

1. Общий знаменатель равен \( (x-3)^2(x+3)^2 \).
2. Приведём каждую дробь к общему знаменателю:
• \( \frac{1}{(x-3)^2} = \frac{(x+3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2} \)
• \( \frac{9}{(x+3)^2} = \frac{9(x-3)^2}{(x+3)^2(x-3)^2} \)
• \( \frac{6}{x^2-9} = \frac{6}{(x-3)(x+3)} = \frac{6(x-3)(x+3)}{(x-3)^2(x+3)^2} \)
3. Подставим приведённые дроби в исходное уравнение:
\[ \frac{(x+3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2} + \frac{9(x-3)^2}{(x-3)^2(x+3)^2} - \frac{6(x-3)(x+3)}{(x-3)^2(x+3)^2} = 0 \]
4. Приравняем числитель к нулю (так как знаменатель не может быть равен нулю, \( x \neq 3 \) и \( x \neq -3 \)):
\[ (x+3)^2 + 9(x-3)^2 - 6(x-3)(x+3) = 0 \]
5. Раскроем скобки:
\[ (x^2 + 6x + 9) + 9(x^2 - 6x + 9) - 6(x^2 - 9) = 0 \]
6. Упростим выражение:
\[ x^2 + 6x + 9 + 9x^2 - 54x + 81 - 6x^2 + 54 = 0 \]
7. Сгруппируем подобные члены:
\[ (1+9-6)x^2 + (6-54)x + (9+81+54) = 0 \]
8. Получим квадратное уравнение:
\[ 4x^2 - 48x + 144 = 0 \]
9. Разделим всё на 4:
\[ x^2 - 12x + 36 = 0 \]
10. Это полный квадрат:
\[ (x-6)^2 = 0 \]
11. Отсюда следует:
\[ x-6 = 0 \]
12. \( x = 6 \)

Проверка: \( x=6 \) не равно 3 и -3, поэтому решение является допустимым.

Ответ: x = 6.