9 класс. Геометрия. Контрольная работа №3 по теме: «Векторы» Вариант 1 • 1. Начертите неколлинеарные векторы а, в, с. Постройте векторы, равные: а) а/3 + с/2; б) –а + 2b/3 + 0,5c. • 2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки К и Е так, что ВК = КС, СЕ : ED = 2 : 3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через векторы а = АВ и b = AD. • 3. 3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, боковая сторона равны 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции. 1 • 4. * В треугольнике АВС точка В₁ середина АС, точка А₁ лежит на стороне ВС так, что ВА₁ : А₁C = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ₁ лежит на прямой АА1.

• 1. Начертите неколлинеарные векторы a, b, c. Постройте векторы, равные:

1. а) $$ \frac{a}{3} + \frac{c}{2} $$
2. б) $$-a + \frac{2b}{3} + 0.5c$$

• 2. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки K и E так, что BK = KC, CE : ED = 2 : 3. Выразите векторы AK, AE, KE через векторы a = AB и b = AD.

Решение:

Выразим векторы AK, AE, KE через векторы a и b.

Вектор AK:

$$AK = AB + BK$$

Так как BK = 1/2 BC = 1/2 AD, то

$$AK = a + \frac{1}{2}b$$

Вектор AE:

$$AE = AD + DE$$

Так как CE : ED = 2 : 3, то DE = 3/5 CD = 3/5 AB,

$$AE = b + \frac{3}{5}a$$

Вектор KE:

$$KE = AE - AK$$

$$KE = (b + \frac{3}{5}a) - (a + \frac{1}{2}b)$$

$$KE = b + \frac{3}{5}a - a - \frac{1}{2}b$$

$$KE = -\frac{2}{5}a + \frac{1}{2}b$$

Ответ: $$AK = a + \frac{1}{2}b$$, $$AE = b + \frac{3}{5}a$$, $$KE = -\frac{2}{5}a + \frac{1}{2}b$$

• 3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть ABCD - данная трапеция, BC = 8 см - меньшее основание, AB = 10 см, CD = 10 см - боковые стороны, ∠A = 60°, ∠D = 45°.

Проведем высоты BH и CF. Рассмотрим треугольник ABH: ∠H = 90°, ∠A = 60°, следовательно, ∠ABH = 30°. AH = 1/2 * AB = 1/2 * 10 = 5 см (катет, лежащий против угла в 30°).

Рассмотрим треугольник CDF: ∠F = 90°, ∠D = 45°, следовательно, ∠DCF = 45°. Тогда треугольник CDF равнобедренный, CF = DF.

BH = CF (как высоты трапеции), BH = AB * sin(60°) = 10 * √3/2 = 5√3 см.

Тогда DF = 5√3 см.

AD = AH + HF + FD = 5 + 8 + 5√3 = 13 + 5√3 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{8 + 13 + 5\sqrt{3}}{2} = \frac{21 + 5\sqrt{3}}{2}$$

$$m = 10.5 + 2.5\sqrt{3} \approx 14.83 \text{ см}$$

Ответ: $$m = \frac{21 + 5\sqrt{3}}{2} \approx 14.83 \text{ см}$$

• 4. * В треугольнике АВС точка В₁ середина АС, точка А₁ лежит на стороне ВС так, что ВА₁ : А₁C = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ₁ лежит на прямой АА₁.