7 класс. Геометрия. Контрольная работа №8 Вариант 3 К-8 (§ 14) • 1. Упростите выражение: a) 2c(1 + c) - (c - 2)(c + 4); б) (y+2)² - 2y(y + 2); в) 30x + 3(x-5)². • 2. Разложите на множители: a) 4a - a³; 6) ax² + 2ax + a. 3. Упростите выражение (b² + 2b)²-b²(b-1)(b + 1) + 2b(3 - 2b²). 4. Разложите на множители: 2 a) 16-y; 6) a + a²-b-b². 81 2 5. Докажите, что выражение с² - 2с + 12 может прини- мать лишь положительные значения.

Ответ: Решения ниже

1. Упростите выражение:

1. a) 2c(1 + c) - (c - 2)(c + 4)
   Показать решение

   Шаг 1: Раскрываем скобки.

   \[2c + 2c^2 - (c^2 + 4c - 2c - 8)\]

   Шаг 2: Упрощаем выражение в скобках.

   \[2c + 2c^2 - (c^2 + 2c - 8)\]

   Шаг 3: Раскрываем скобки, меняя знаки.

   \[2c + 2c^2 - c^2 - 2c + 8\]

   Шаг 4: Приводим подобные слагаемые.

   \[2c^2 - c^2 + 2c - 2c + 8\]

   \[c^2 + 8\]

   Ответ: \[c^2 + 8\]

2. б) (y + 2)² - 2y(y + 2)
   Показать решение

   Шаг 1: Раскрываем квадрат суммы.

   \[(y^2 + 4y + 4) - 2y(y + 2)\]

   Шаг 2: Раскрываем скобки.

   \[y^2 + 4y + 4 - 2y^2 - 4y\]

   Шаг 3: Приводим подобные слагаемые.

   \[y^2 - 2y^2 + 4y - 4y + 4\]

   \[-y^2 + 4\]

   Ответ: \[-y^2 + 4\]

3. в) 30x + 3(x - 5)²
   Показать решение

   Шаг 1: Раскрываем квадрат разности.

   \[30x + 3(x^2 - 10x + 25)\]

   Шаг 2: Раскрываем скобки.

   \[30x + 3x^2 - 30x + 75\]

   Шаг 3: Приводим подобные слагаемые.

   \[3x^2 + 30x - 30x + 75\]

   \[3x^2 + 75\]

   Ответ: \[3x^2 + 75\]

2. Разложите на множители:

1. a) 4a - a³
   Показать решение

   Шаг 1: Выносим общий множитель a.

   \[a(4 - a^2)\]

   Шаг 2: Раскладываем разность квадратов.

   \[a(2 - a)(2 + a)\]

   Ответ: \[a(2 - a)(2 + a)\]

2. б) ax² + 2ax + a
   Показать решение

   Шаг 1: Выносим общий множитель a.

   \[a(x^2 + 2x + 1)\]

   Шаг 2: Замечаем полный квадрат.

   \[a(x + 1)^2\]

   Ответ: \[a(x + 1)^2\]

3. Упростите выражение:

Показать решение

\[(b^2 + 2b)^2 - b^2(b - 1)(b + 1) + 2b(3 - 2b^2)\]

\[b^4 + 4b^3 + 4b^2 - b^2(b^2 - 1) + 6b - 4b^3\]

\[b^4 + 4b^3 + 4b^2 - b^4 + b^2 + 6b - 4b^3\]

\[5b^2 + 6b\]

Ответ: \[5b^2 + 6b\]

4. Разложите на множители:

1. a) 16 - 1/81 y⁴
   Показать решение

   Шаг 1: Представим как разность квадратов.

   \[4^2 - (\frac{1}{9}y^2)^2\]

   Шаг 2: Раскладываем разность квадратов.

   \[(4 - \frac{1}{9}y^2)(4 + \frac{1}{9}y^2)\]

   Шаг 3: Раскладываем первую скобку как разность квадратов.

   \[(2 - \frac{1}{3}y)(2 + \frac{1}{3}y)(4 + \frac{1}{9}y^2)\]

   Ответ: \[(2 - \frac{1}{3}y)(2 + \frac{1}{3}y)(4 + \frac{1}{9}y^2)\]

2. б) a + a² - b - b²
   Показать решение

   Шаг 1: Группируем члены.

   \[(a - b) + (a^2 - b^2)\]

   Шаг 2: Раскладываем разность квадратов.

   \[(a - b) + (a - b)(a + b)\]

   Шаг 3: Выносим общий множитель (a - b).

   \[(a - b)(1 + a + b)\]

   Ответ: \[(a - b)(1 + a + b)\]

5. Докажите, что выражение c² - 2c + 12 может принимать лишь положительные значения.

Показать решение

Шаг 1: Выделяем полный квадрат.

\[c^2 - 2c + 1 + 11\]

\[(c - 1)^2 + 11\]

Шаг 2: Анализируем выражение.

Квадрат любого числа неотрицателен, то есть \[(c - 1)^2 \ge 0\].

Следовательно, \[(c - 1)^2 + 11 \ge 11 > 0\].

Выражение всегда положительно.

Ответ: Выражение \[c^2 - 2c + 12\] всегда принимает только положительные значения, так как оно равно \[(c - 1)^2 + 11\]

Ответ: Решения выше