7 класс 1. На рисунке ∠ABE = 104°, ∠DCF = 76°, АС = 12 см. Найдите сторону АВ треугольни- ка АВС. 2. В треугольнике CDE точка К лежит на стороне СЕ, причём угол CKD острый. Докажите, что DE > DK. 3. Периметр равнобедренного тупоуголь- ного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найдите сторо- ны этого треугольника.

1. Для решения задачи необходимо знать дополнительные свойства или соотношения в треугольнике ABC, так как имеющихся данных недостаточно для однозначного определения стороны AB.

2. В треугольнике CDE точка K лежит на стороне CE, причём угол CKD острый. Доказать, что DE > DK.

Рассмотрим треугольник CDK. Так как угол CKD острый, то смежный с ним угол DKE - тупой (потому что они в сумме составляют 180°). Значит, в треугольнике DKE угол DKE - тупой, и, следовательно, он наибольший угол в этом треугольнике. Против большего угла лежит большая сторона, поэтому DE > KE.

Далее, DK + KE = DE.

В треугольнике DKE, против угла DKE лежит сторона DE, а против угла KDE лежит сторона KE. Поскольку угол DKE тупой, то DE > DK.

Таким образом, DE > DK.

3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 45 см, а одна из его сторон больше другой на 9 см. Найти стороны этого треугольника.

Рассмотрим два случая:

а) Боковая сторона больше основания на 9 см.

Пусть основание равно x см, тогда боковая сторона равна (x + 9) см. Так как треугольник равнобедренный, две боковые стороны равны. Периметр равен сумме длин всех сторон.

$$x + 2(x + 9) = 45$$

$$x + 2x + 18 = 45$$

$$3x = 45 - 18$$

$$3x = 27$$

$$x = 9$$

Основание: 9 см, боковая сторона: 9 + 9 = 18 см.

Проверим, может ли такой треугольник быть тупоугольным. Для этого необходимо проверить выполнение неравенства треугольника и теорему косинусов.

$$9 + 18 > 18, 18 + 18 > 9$$

Неравенство выполняется. Пусть угол α лежит против основания (9 см), а угол β лежит против боковой стороны (18 см).

По теореме косинусов:

$$9^2 = 18^2 + 18^2 - 2 \cdot 18 \cdot 18 \cdot cos(α)$$

$$81 = 324 + 324 - 648 \cdot cos(α)$$

$$648 \cdot cos(α) = 567$$

$$cos(α) = \frac{567}{648} = \frac{7}{8} = 0.875$$

α = arccos(0.875) ≈ 29°

Это острый угол. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому и второй угол тоже острый. Третий угол равен:

180° - 29° - 29° = 122°

Таким образом, этот треугольник тупоугольный.

б) Основание больше боковой стороны на 9 см.

Пусть боковая сторона равна x см, тогда основание равно (x + 9) см.

$$2x + (x + 9) = 45$$

$$3x + 9 = 45$$

$$3x = 36$$

$$x = 12$$

Боковая сторона: 12 см, основание: 12 + 9 = 21 см.

Проверим, может ли такой треугольник быть тупоугольным. Для этого необходимо проверить выполнение неравенства треугольника и теорему косинусов.

$$12 + 12 > 21$$

$$24 > 21$$

$$12 + 21 > 12$$

Неравенство выполняется. Пусть угол α лежит против основания (21 см), а угол β лежит против боковой стороны (12 см).

По теореме косинусов:

$$21^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot cos(α)$$

$$441 = 144 + 144 - 288 \cdot cos(α)$$

$$288 \cdot cos(α) = -153$$

$$cos(α) = \frac{-153}{288} = -0.53125$$

α = arccos(-0.53125) ≈ 122°

Это тупой угол. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому:

$$\frac{180 - 122}{2} = \frac{58}{2} = 29$$

Таким образом, углы при основании равны 29°.

Получается, что такой треугольник тупоугольный.

Ответ: a) 9 см, 18 см, 18 см; б) 12 см, 12 см, 21 см.