8 класс 1. На рисунке АВ || CD. а) Докажите, что AO OC = BO OD. . б) Найдите АВ, если ВС = 24 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см. 2. Найдите отношение площа- дей треугольников АВС и КММ, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, КМ = 10 см, = 15 см, КМ = 20 см.

1. На рисунке АВ || CD.

а) Докажите, что $$AO \cdot OC = BO \cdot OD$$.

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$.

• $$\angle AOB = \angle COD$$ (как вертикальные).
• $$\angle OAB = \angle OCD$$ (как накрест лежащие при $$AB || CD$$ и секущей $$AC$$).

Следовательно, $$\triangle AOB \sim \triangle COD$$ (по двум углам). Из подобия следует пропорциональность сторон:

$$\frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC}$$, что равносильно $$AO \cdot OC = BO \cdot OD$$.

б) Найдите АВ, если ВС = 24 см, ОВ = 9 см, CD = 25 см.

Так как $$\triangle AOB \sim \triangle COD$$, то $$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}$$.

Пусть $$OD = x$$, тогда $$BD = OB + OD = 9 + x$$.

Также из подобия следует $$\frac{OB}{OD} = \frac{AO}{OC} = \frac{AB}{CD}$$.

По условию $$BC = 24$$ см, следовательно, $$\frac{OB}{OD} = \frac{9}{x}$$.

Аналогично, $$\frac{AB}{CD} = \frac{9}{x}$$, то есть $$\frac{AB}{25} = \frac{9}{x}$$, отсюда $$AB = \frac{225}{x}$$.

Имеем $$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD}$$.

Из условия задачи не хватает данных для однозначного определения $$AB$$. Если предположить, что в условии должно быть $$BC = 24$$ см и $$OC = 16$$ см, тогда $$\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD}$$, то есть $$\frac{9}{OD} = \frac{AB}{25}$$.

Тогда, если $$\frac{OB}{OD} = \frac{9}{16}$$, следовательно, $$\frac{AB}{25} = \frac{9}{16}$$, откуда $$AB = \frac{225}{16} = 14.0625$$ см.

2. Найдите отношение площадей треугольников АВС и KMN, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, КМ = 10 см, MN = 15 см, KN = 20 см.

Для нахождения отношения площадей двух треугольников, нужно рассмотреть коэффициент подобия:

$$\frac{AB}{KM} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$, $$\frac{BC}{MN} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$, $$\frac{AC}{KN} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$$.

Так как отношение всех сторон одинаково, то треугольники подобны с коэффициентом подобия $$k = \frac{4}{5}$$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} = k^2 = (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25}$$.

Ответ: а) Доказательство в решении; б) AB = 14.0625 см (при условии OC = 16 см); 2) 16/25.