7 класс 1. На рисунке ДВАЕ - 112°, ∠DBF 68°, ВС = 9 см. Найдите сторону АС треугольни- ка АВС. 2. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне ММ, причём угол №КР острый. Докажите, что КР < МР. 3. Периметр равнобедренного тупоугольно- го треугольника равен 77 см, а одна из его сто- рон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника. N2.

Ответ: 1) AC = 12 см; 3) 20 см, 20 см, 37 см.

Задача 1:

Смотри, тут всё просто: углы \(\angle BAE\) и \(\angle DBF\) - смежные с углами \(\angle BAC\) и \(\angle ABC\) соответственно.

Сумма смежных углов равна \(180^\circ\).

• Найдем \(\angle BAC\): \[\angle BAC = 180^\circ - \angle BAE = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ\]
• Найдем \(\angle ABC\): \[\angle ABC = 180^\circ - \angle DBF = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ\]
• Найдем \(\angle C\) по теореме о сумме углов треугольника ABC: \[\angle C = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 68^\circ - 112^\circ = 0^\circ\]

Так как углы \(\angle BAC = \angle DBF\), то треугольник ABC - равнобедренный, значит, \(AC = BC = 9\) см.

Ответ: \(AC = 9\) см.

Задача 2:

В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причём угол NKP острый. Докажите, что KP < MP.

Разбираемся:

1. Т.к. \(\angle NKP\) острый, то смежный с ним \(\angle MKP\) - тупой.
2. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), и в \(\triangle MKP\) \(\angle MKP\) - тупой, то \(\angle M \) - острый.
3. Значит, в \(\triangle MKP\) \(\angle MKP\) - наибольший, следовательно, MP - наибольшая сторона, т.е. \(KP < MP\).

Задача 3:

Смотри, как это работает: Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

Рассмотрим два случая:

1. Боковая сторона больше основания на 17 см. Тогда:
   • Пусть x - основание, тогда x + 17 - боковая сторона.
   • Периметр: \(x + 2(x + 17) = 77\)
   • \(x + 2x + 34 = 77\)
   • \(3x = 43\)
   • \(x = \frac{43}{3} = 14 \frac{1}{3}\)
   • \(x + 17 = 14 \frac{1}{3} + 17 = 31 \frac{1}{3}\)

   Получается, стороны: \(14 \frac{1}{3}, 31 \frac{1}{3}, 31 \frac{1}{3}\). Но такого треугольника не существует, т.к. не выполняется неравенство треугольника: \(14 \frac{1}{3} + 31 \frac{1}{3} < 31 \frac{1}{3}\)

2. Основание больше боковой стороны на 17 см. Тогда:
   • Пусть x - боковая сторона, тогда x + 17 - основание.
   • Периметр: \(2x + x + 17 = 77\)
   • \(3x + 17 = 77\)
   • \(3x = 60\)
   • \(x = 20\)
   • \(x + 17 = 20 + 17 = 37\)

   Получается, стороны: 20, 20, 37. Такой треугольник существует, т.к. выполняется неравенство треугольника: \(20 + 20 > 37\)

Ответ: 20 см, 20 см, 37 см.

Ответ: 1) AC = 12 см; 3) 20 см, 20 см, 37 см.