7 класс 1. На рисунке ДВАЕ = 112°, ∠DBF = 68°, ВС = 9 см. Найдите сторону АС треугольни- ка АВС. 2. В треугольнике MNP точка К лежит на стороне МN, причём угол №КР острый. Докажите, что КР < МР. 3. Периметр равнобедренного тупоугольно- го треугольника равен 77 см, а одна из его сто- рон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

1. Данных для решения задачи недостаточно.

2. В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причем угол NKP острый. Докажите, что KP < MP.

Рассмотрим треугольник NKP. Так как угол NKP острый, то смежный с ним угол MKP - тупой (потому что они в сумме дают 180°). Значит, в треугольнике MKP угол MKP - тупой, следовательно, он наибольший угол в этом треугольнике. Против большего угла лежит большая сторона, поэтому MP > KP. Следовательно, KP < MP.

3. Периметр равнобедренного тупоугольного треугольника равен 77 см, а одна из его сторон больше другой на 17 см. Найдите стороны этого треугольника.

Пусть x - боковая сторона, y - основание. Рассмотрим два случая:

Первый случай: боковая сторона больше основания на 17 см. Тогда x = y + 17. Периметр равен 2x + y = 77. Подставим x = y + 17 в уравнение периметра: 2(y + 17) + y = 77. Раскроем скобки: 2y + 34 + y = 77. Приведем подобные слагаемые: 3y + 34 = 77. Выразим y: 3y = 77 - 34 = 43. Тогда y = 43 / 3 = 14,(3) см. Теперь найдем x: x = y + 17 = 14,(3) + 17 = 31,(3) см. В этом случае стороны треугольника равны 31,(3) см, 31,(3) см и 14,(3) см.

Второй случай: основание больше боковой стороны на 17 см. Тогда y = x + 17. Периметр равен 2x + y = 77. Подставим y = x + 17 в уравнение периметра: 2x + (x + 17) = 77. Раскроем скобки: 3x + 17 = 77. Выразим x: 3x = 77 - 17 = 60. Тогда x = 60 / 3 = 20 см. Теперь найдем y: y = x + 17 = 20 + 17 = 37 см. В этом случае стороны треугольника равны 20 см, 20 см и 37 см.

Проверим, может ли существовать тупоугольный треугольник со сторонами 20 см, 20 см и 37 см. Для этого нужно проверить, выполняется ли неравенство треугольника, и является ли угол между сторонами 20 см тупым. Неравенство треугольника: 20 + 20 > 37 (40 > 37). Угол тупой, если квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон: 37² > 20² + 20² (1369 > 400 + 400 = 800). Неравенство выполняется, значит, такой треугольник может существовать.

Проверим, может ли существовать тупоугольный треугольник со сторонами 31,(3) см, 31,(3) см и 14,(3) см. Для этого нужно проверить, выполняется ли неравенство треугольника, и является ли угол между сторонами 31,(3) см тупым. Неравенство треугольника: 31,(3) + 14,(3) > 31,(3) (45,(6) > 31,(3)). Угол тупой, если квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон: 31,(3)² > 31,(3)² + 14,(3)² (987,(7) > 987,(7) + 205,(1)). Неравенство не выполняется, значит, такой треугольник не может существовать.

Ответ: Стороны треугольника: 20 см, 20 см, 37 см.