8 класс 1. На рисунке МN || АС. а) Докажите, что AB BN = CB BM. C A B B M N A C К-3, В-2 б) Найдите MN, если АМ = 6 см, ВМ = 8 см, АС = 21 см. 2. Найдите отношение площадей треугольников PQR и АВС, если PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см, АВ = 12 см, ВС = 15 см, АС = 21 см.

8 класс, задача 1

а) Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Угол B - общий. Так как MN || AC, то угол BMN равен углу BAC как соответственные углы. Следовательно, треугольники ABC и MBN подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: AB/MB = BC/BN. Перемножив крест-накрест, получаем: AB * BN = BC * BM, что и требовалось доказать.

б) Найти MN:

Так как AM = 6 см и BM = 8 см, то AB = AM + BM = 6 + 8 = 14 см. Из подобия треугольников ABC и MBN следует: MN/AC = BM/AB. Нам дано AC = 21 см, поэтому MN/21 = 8/14. Упростим дробь 8/14, разделив числитель и знаменатель на 2, получим 4/7. Таким образом, MN/21 = 4/7. Чтобы найти MN, умножим обе части уравнения на 21: MN = (4/7) * 21 = 12 см.

8 класс, задача 2

Для нахождения отношения площадей треугольников PQR и ABC, сначала проверим, подобны ли они. Для этого найдем отношение соответствующих сторон:

PQ/AB = 16/12 = 4/3

QR/BC = 20/15 = 4/3

PR/AC = 28/21 = 4/3

Так как отношение всех соответствующих сторон равно 4/3, треугольники PQR и ABC подобны. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k = 4/3. Следовательно, отношение площадей равно k^2 = (4/3)^2 = 16/9.

Ответ: Площади относятся как 16/9