11 КЛАСС. ВАРИАНТ 1. Задача 1 (5 баллов). На технической выставке представлена коллекция, включающая 4 инновационных устройства от компании DaliTech, 5 - от VanTech, 6 - от PicassoTech. Все представленные устройства были приобретены пятью компаниями-участниками. Найти количество различных результатов распределения устройств между участниками выставки. Задача 2 (8 баллов). Решить уравнение \[\sqrt{\sin^2 6x + \cos\left(6x - \frac{3\pi}{2}\right)} + \frac{1}{4} = \cos \frac{5\pi}{3}\] Задача 3 (10 баллов). Найти \[\lim_{n \to \infty} \left(16 + \left(4 + \frac{1}{n}\right)^2 + \left(4 + \frac{2}{n}\right)^2 + ... + \left(4 + \frac{n-1}{n}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{n}\] Задача 4 (12 баллов). Найти , \[f'\left(\frac{1}{2}\right)\] если \[f\left(\frac{x}{x+2}\right) = x.\]

Готов разобрать задачи для тебя. Давай начнем с первой задачи. Задача 1 (5 баллов). На технической выставке представлена коллекция, включающая 4 инновационных устройства от компании DaliTech, 5 - от VanTech, 6 - от PicassoTech. Все представленные устройства были приобретены пятью компаниями-участниками. Найти количество различных результатов распределения устройств между участниками выставки. Решение: Всего устройств: 4 + 5 + 6 = 15 Компаний-участников: 5 Необходимо найти количество способов распределения 15 устройств между 5 компаниями. Это задача на сочетания с повторениями. Количество сочетаний с повторениями можно вычислить по формуле: \[C(n + k - 1, k) = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!}\] где n - количество компаний (5), k - количество устройств (15). В нашем случае: \[C(5 + 15 - 1, 15) = C(19, 15) = \frac{19!}{15!(19 - 15)!} = \frac{19!}{15!4!} = \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 19 \times 3 \times 17 \times 2 = 3876\] Задача 2 (8 баллов). Решить уравнение \[\sqrt{\sin^2 6x + \cos\left(6x - \frac{3\pi}{2}\right)} + \frac{1}{4} = \cos \frac{5\pi}{3}\] Решение: Упростим уравнение: \[\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\] \(\cos\left(6x - \frac{3\pi}{2}\right) = - \sin(6x)\) Получаем: \[\sqrt{\sin^2 6x - \sin 6x} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\] \[\sqrt{\sin^2 6x - \sin 6x} = \frac{1}{4}\] Возведем обе части в квадрат: \[\sin^2 6x - \sin 6x = \frac{1}{16}\] \(\sin 6x = t\) \[t^2 - t - \frac{1}{16} = 0\] Решим квадратное уравнение: \[D = (-1)^2 - 4(1)(-\frac{1}{16}) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\] \[t = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{5}{4}}}{2} = \frac{1 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{4}\] \(\sin 6x = \frac{2 + \sqrt{5}}{4} \approx 1.05 > 1\) - нет решений. \(\sin 6x = \frac{2 - \sqrt{5}}{4} \approx -0.05\) \(6x = \arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{5}}{4}\right) + 2\pi k\) \(6x = \pi - \arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{5}}{4}\right) + 2\pi k\) \[x = \frac{1}{6}\arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{5}}{4}\right) + \frac{\pi k}{3}\] \[x = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{6}\arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{5}}{4}\right) + \frac{\pi k}{3}\] Задача 3 (10 баллов). Найти \[\lim_{n \to \infty} \left(16 + \left(4 + \frac{1}{n}\right)^2 + \left(4 + \frac{2}{n}\right)^2 + ... + \left(4 + \frac{n-1}{n}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{n}\] Решение: \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \left(4 + \frac{i}{n}\right)^2 = \int_{0}^{1} (4 + x)^2 dx\] \(\int_{0}^{1} (16 + 8x + x^2) dx = \left[16x + 4x^2 + \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 16 + 4 + \frac{1}{3} = 20 + \frac{1}{3} = \frac{61}{3}\) Задача 4 (12 баллов). Найти , \[f'\left(\frac{1}{2}\right)\] если \[f\left(\frac{x}{x+2}\right) = x.\] Решение: Пусть \(y = \frac{x}{x+2}\), тогда \(f(y) = x\). Выразим x через y: \(y(x+2) = x\) \(yx + 2y = x\) \(x - yx = 2y\) \(x(1-y) = 2y\) \(x = \frac{2y}{1-y}\) Тогда \(f(y) = \frac{2y}{1-y}\). Теперь найдем производную \(f'(y)\): \[f'(y) = \frac{2(1-y) - 2y(-1)}{(1-y)^2} = \frac{2 - 2y + 2y}{(1-y)^2} = \frac{2}{(1-y)^2}\] \[f'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{2}{\frac{1}{4}} = 8\]

Ответ: Задача 1: 3876, Задача 2: \[x = \frac{1}{6}\arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{5}}{4}\right) + \frac{\pi k}{3}\] \[x = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{6}\arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{5}}{4}\right) + \frac{\pi k}{3}\] , Задача 3: \(\frac{61}{3}\), Задача 4: 8

Отлично, ты хорошо поработал! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!