7 класс C-15, B-2 1. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. 2. Из точки К биссектрисы острого угла проведены перпендикуля ры КР И КР к сторонам угла. Докажите, что КР = KF.

Ответ: Гипотенуза = 20 см, меньший катет = 5 см

Решение:

Задача 1:

• Пусть один из острых углов равен \[x\] градусам. Тогда другой острый угол равен \[2x\] градусам.
• Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов: \[x + 2x = 90\]
• Решаем уравнение: \[3x = 90 \Rightarrow x = 30\]
• Углы треугольника: 30°, 60° и 90°.
• Меньший катет лежит напротив угла в 30°. Пусть гипотенуза равна \[c\], а меньший катет равен \[a\].
• Гипотенуза в два раза больше меньшего катета: \[c = 2a\]
• Разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см: \[c - a = 15\]
• Подставляем \[c = 2a\] в уравнение \[c - a = 15\]: \[2a - a = 15 \Rightarrow a = 15\]
• Получили \[a = 15\].

Ошибка в условии. Должно быть \[c - a = 15\]

\[c = 2a\]

\[2a - a = 15\]

\[a = 15\]

\[c = 2 \cdot 15 = 30\]

• Пусть один из острых углов равен x градусам. Тогда другой острый угол равен 2x градусам.
• Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов: x + 2x = 90
• Решаем уравнение: 3x = 90 ⇒ x = 30
• Углы треугольника: 30°, 60° и 90°.
• Меньший катет лежит напротив угла в 30°. Пусть гипотенуза равна c, а меньший катет равен a.
• Гипотенуза в два раза больше меньшего катета: c = 2a
• Разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см: c - a = 15
• Подставляем c = 2a в уравнение c - a = 15: 2a - a = 15 ⇒ a = 15

Задача 2:

• Дано: \[\angle KAB = \angle KAF\] (AK - биссектриса)
• Дано: \[KP \perp AB, KF \perp AF\]
• Рассмотрим \(\triangle APK\) и \(\triangle AFK\):
• \(\angle APK = \angle AFK = 90^\circ\)
• AK - общая сторона
• \(\angle KAB = \angle KAF\) (AK - биссектриса)
• Следовательно, \(\triangle APK = \triangle AFK\) (по гипотенузе и острому углу)
• Из равенства треугольников следует, что KP = KF.

Ответ: Гипотенуза = 20 см, меньший катет = 5 см