8 класс C-13, B-2 1. Вершины треугольника АВС лежат на окружности с центром О, LABC = 70°, BC: AB = 3 : 2. Найдите углы АСВ и ВАС тре- угольника АВС. 2. Хорды М№ и KZ окружности пересекаются в точке А, причём хорда М№ делится точкой А на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка А делит хорду КZ, если длина КZ в 2 раза мень- ше длины МИ?

Задача 1

Дано: треугольник ABC, описанный около окружности с центром O, ∠ABC = 70°, дуга BC : дуга AB = 3 : 2.

Найти: углы ACB и BAC.

Решение:

• Пусть дуга BC = 3x, тогда дуга AB = 2x. Сумма дуг AB и BC составляет половину окружности, так как вершины треугольника лежат на окружности, а центр O находится внутри треугольника. Следовательно, 3x + 2x = 180°.
• Решаем уравнение: 5x = 180°, x = 36°.
• Дуга BC = 3 * 36° = 108°.
• Дуга AB = 2 * 36° = 72°.
• Угол BAC является вписанным углом и опирается на дугу BC, поэтому ∠BAC = 1/2 * 108° = 54°.
• Угол ACB является вписанным углом и опирается на дугу AB, поэтому ∠ACB = 1/2 * 72° = 36°.

Ответ: ∠ACB = 36°, ∠BAC = 54°

Задача 2

Дано: хорды MN и KZ пересекаются в точке A, MA = 1 см, AN = 15 см, KZ = 1/2 * MN.

Найти: отрезки KA и AZ.

Решение:

• Длина хорды MN = MA + AN = 1 см + 15 см = 16 см.
• Длина хорды KZ = 1/2 * MN = 1/2 * 16 см = 8 см.
• По свойству пересекающихся хорд, MA * AN = KA * AZ.
• Подставляем известные значения: 1 * 15 = KA * AZ, то есть KA * AZ = 15.
• Пусть KA = x, тогда AZ = 8 - x. Получаем уравнение: x * (8 - x) = 15.
• Раскрываем скобки и переносим все в одну сторону: 8x - x² = 15, x² - 8x + 15 = 0.
• Решаем квадратное уравнение: D = (-8)² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4.
• x₁ = (8 + √4) / 2 = (8 + 2) / 2 = 5.
• x₂ = (8 - √4) / 2 = (8 - 2) / 2 = 3.
• Таким образом, KA = 5 см, AZ = 3 см или KA = 3 см, AZ = 5 см.

Ответ: KA = 5 см, AZ = 3 см или KA = 3 см, AZ = 5 см.