10 класс К-3, В-3 1. Из середины D стороны АС равнобедренного треугольника АВС с основанием АС проведён к его плоскости перпендикуляр DK. Докажите, что АС 1 ВК. 2. Через сторону АВ квадрата ABCD проведена плоскость. Про- екция одной из сторон квадрата АBCD на эту плоскость равна 3 см. Найдите проекцию на эту плоскость одной из диагоналей квадрата, если известно, что АВ = 6 см. 3. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведе- ны две наклонные, образующие с плоскостью равные углы в 45°, a между собой угол в 60°. Найдите расстояние между концами на- клонных.

1. Дано: треугольник ABC - равнобедренный (AB=BC), D - середина AC, DK перпендикулярен плоскости ABC. Доказать: AC перпендикулярна BK.

Доказательство:

Так как треугольник ABC равнобедренный и D - середина AC, то BD - высота треугольника ABC. Значит, BD перпендикулярна AC.

Так как DK перпендикулярен плоскости ABC, то DK перпендикулярен AC.

AC перпендикулярна BD и AC перпендикулярна DK. Тогда AC перпендикулярна плоскости BDK, так как AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Так как AC перпендикулярна плоскости BDK, то AC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и BK.

Следовательно, AC перпендикулярна BK, что и требовалось доказать.

2. Пусть ABCD - квадрат, плоскость проведена через сторону AB, проекция стороны AD на плоскость равна 3 см. Нужно найти проекцию диагонали AC на эту плоскость.

Обозначим проекцию точки D на плоскость как D₁. Тогда AD₁ = 3 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD₁. В нём ∠ADD₁ = 90°, AD = 6 см, AD₁ = 3 см. По теореме Пифагора: $$DD_1^2 = AD^2 - AD_1^2$$ $$DD_1^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27$$ $$DD_1 = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \text{ см}$$

Пусть C₁ - проекция точки C на плоскость. Тогда CC₁ = DD₁ = 3√3 см. AC = AB√2 = 6√2 см. Нужно найти AC₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁. В нём ∠ACC₁ = 90°. По теореме Пифагора: $$AC_1^2 = AC^2 - CC_1^2$$ $$AC_1^2 = (6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2 = 72 - 27 = 45$$ $$AC_1 = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ см}$$

3. Пусть дана точка B, отстоящая от плоскости на расстояние a. Из этой точки проведены две наклонные BM и BN, образующие с плоскостью равные углы в 45°, а угол между собой равен 60°. Нужно найти расстояние между концами наклонных MN.

Пусть M₁ и N₁ - проекции точек M и N на плоскость. Тогда BM₁ = BN₁ (так как углы между наклонными и плоскостью равны). Угол ∠MBN = 60°.

Так как угол между наклонной и плоскостью равен 45°, то треугольники BMM₁ и BNN₁ - прямоугольные и равнобедренные (∠BMM₁ = ∠BNN₁ = 90°, ∠BM₁M = ∠BN₁N = 45°). Тогда BM₁ = BM = a.

Рассмотрим треугольник MBN. Он равнобедренный (BM = BN). По теореме косинусов: $$MN^2 = BM^2 + BN^2 - 2 \cdot BM \cdot BN \cdot cos(60°)$$ $$MN^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = 2a^2 - a^2 = a^2$$ $$MN = \sqrt{a^2} = a$$

Ответ: a