10 класс К-3, В-2 1. Из вершины В квадрата АBCD проведён перпендикуляр BF к плоскости этого квадрата. Докажите, что АС1 DF. 2. Через вершину В треугольника АВС проведена плоскость, не совпадающая с плоскостью АВС и параллельная его стороне АС. Проекция треугольника АВС на эту плоскость треугольник А₁ВС, с прямым углом В. Найдите сторону АС, если ВА₁ = 9 см, ВС₁ = 12 см. 3. Из точки В проведены к данной плоскости две равные на- клонные, угол между которыми равен 60°, а угол между их про- екциями равен 90°. Найдите угол между каждой наклонной и её проекцией на плоскость.

1. Для решения данной задачи необходимо воспользоваться знаниями геометрии, а именно свойствами квадрата и перпендикулярности прямой и плоскости.

Доказательство:

Пусть дан квадрат ABCD, BF - перпендикуляр к плоскости квадрата. Нужно доказать, что AC перпендикулярна DF.

Так как BF перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, то BF перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, BF перпендикулярна AC.

Диагонали квадрата ABCD перпендикулярны, следовательно, AC перпендикулярна BD.

AC перпендикулярна BF и AC перпендикулярна BD. Тогда AC перпендикулярна плоскости BFD, так как AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Так как AC перпендикулярна плоскости BFD, то AC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и DF.

Следовательно, AC перпендикулярна DF, что и требовалось доказать.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁BC₁. По теореме Пифагора: $$A_1C_1^2 = BA_1^2 + BC_1^2$$ $$A_1C_1^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$ $$A_1C_1 = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$$

Так как плоскость, проведенная через точку B, параллельна стороне AC, то проекция треугольника ABC (треугольник A₁BC₁) подобен треугольнику ABC. Следовательно, AC = A₁C₁ = 15 см.

3. Пусть точка B - точка, из которой проведены две наклонные к данной плоскости. Обозначим концы наклонных точками M и N, а их проекции на плоскость - M₁ и N₁ соответственно. Так как наклонные равны, то BM = BN. Угол между наклонными ∠MBN = 60°, а угол между их проекциями ∠M₁BN₁ = 90°.

Рассмотрим треугольник MBN. Он равнобедренный (BM = BN) и ∠MBN = 60°, следовательно, треугольник MBN равносторонний, то есть BM = BN = MN.

Рассмотрим треугольник M₁BN₁. Он прямоугольный (∠M₁BN₁ = 90°). По теореме Пифагора: $$M_1N_1^2 = BM_1^2 + BN_1^2$$

Так как BM = BN и углы между наклонными и плоскостью равны (пусть это угол α), то BM₁ = BN₁. Обозначим BM₁ = BN₁ = x. Тогда: $$M_1N_1^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$$ $$M_1N_1 = x\sqrt{2}$$

Рассмотрим треугольник BMM₁. В нём ∠BM₁B = 90°. Тогда: $$BM_1 = BM \cdot cos(α)$$ $$x = BM \cdot cos(α)$$ $$BM = \frac{x}{cos(α)}$$

Так как треугольник MBN равносторонний, то MN = BM. Заменим MN на M₁N₁: $$MN = \frac{x}{cos(α)}$$

Тогда: $$x\sqrt{2} = \frac{x}{cos(α)}$$ $$cos(α) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$α = arccos(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 45°$$

Следовательно, угол между каждой наклонной и её проекцией на плоскость равен 45°.

Ответ: 45°