7 класс К-3, В-2 1. Отрезки PN и ED пересекаются в их середине М. Докажите, что EN || PD. 2. Отрезок DM – биссектриса треугольника ADC. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторо- ну DA в точке №. Найдите углы треугольника DMN, если ∠ADC = 72°.

Решение:

1. Так как DM - биссектриса треугольника ADC, то ∠ADM = ∠MDC.
2. Прямая, проходящая через точку M параллельна стороне CD, следовательно, MN || CD.
3. ∠DMN = ∠MDC как соответственные углы при параллельных прямых MN и CD и секущей DM.
4. ∠DNM = ∠ADC = 72° как соответственные углы при параллельных прямых MN и CD и секущей AD.
5. Так как ∠ADM = ∠MDC и ∠DMN = ∠MDC, то ∠DMN = ∠ADM. Следовательно, треугольник DMN равнобедренный, и DM = MN.
6. В треугольнике DMN, ∠DMN = ∠MDN. Пусть ∠DMN = x, тогда ∠MDN = x.
7. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому x + x + 72° = 180°
8. 2x = 180° - 72° = 108°
9. x = 108° / 2 = 54° Следовательно, ∠DMN = ∠MDN = 54°, ∠DNM = 72°

Ответ: ∠DMN = 54°, ∠MDN = 54°, ∠DNM = 72°