8 класс К-4, В-1 1. В прямоугольном треугольнике ABC LA = 90°, AB = 20 см, высота AD равна 12 см. Найдите АС и cos C. 2. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна к сто- роне AD, AB = 12 см, ∠A = 60°. Найдите площадь параллелограмма. 3. Боковая сторона трапеции, равная 5√2 см, образует с большим основанием угол в 45°. Основания трапеции равны 12 см и 20 см. Найдите площадь трапеции. 8 класс К-4, В-2 1. В прямоугольном треугольнике АВС высота BD равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos A. 2. Диагональ АС прямоугольника ABCD равна 8 см и составляет со стороной AD угол в 45°. Найдите площадь прямоугольника. 3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см

К-4, В-1

1. В прямоугольном треугольнике ABC LA = 90°, AB = 20 см, высота AD равна 12 см. Найдите АС и cos C.

• Сначала найдем BD, используя теорему Пифагора в треугольнике ABD:

\[BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ см}\]

• Теперь найдем тангенс угла C:

\[tg(C) = \frac{AD}{BD} = \frac{12}{16} = 0.75\]

• Определим угол C через арктангенс:

\[C = arctg(0.75) ≈ 36.87°\]

• Вычислим косинус угла C:

\[cos(C) = cos(36.87°) ≈ 0.8\]

• Найдем AC, используя соотношение \(AB = AC \cdot cos(A)\):

\[\frac{AB}{cos(C)} = \frac{20}{0.78} ≈ 25.63 \text{ см}\]

2. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна к стороне AD, AB = 12 см, ∠A = 60°. Найдите площадь параллелограмма.

• Так как диагональ BD перпендикулярна стороне AD, треугольник ABD является прямоугольным.
• Площадь параллелограмма можно найти как произведение основания на высоту. В данном случае, AD является основанием, а BD - высотой.
• Находим BD:

\[BD = AB \cdot sin(A) = 12 \cdot sin(60°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} ≈ 10.39 \text{ см}\]

• Находим AD:

\[AD = AB \cdot cos(A) = 12 \cdot cos(60°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}\]

• Вычисляем площадь:

\[S = AD \cdot BD = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3} ≈ 62.35 \text{ см}^2\]

3. Боковая сторона трапеции, равная 5√2 см, образует с большим основанием угол в 45°. Основания трапеции равны 12 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

• Высота трапеции:

\[h = 5\sqrt{2} \cdot sin(45°) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \text{ см}\]

• Площадь трапеции:

\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{12 + 20}{2} \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80 \text{ см}^2\]

К-4, В-2

1. В прямоугольном треугольнике АВС высота BD равна 24 см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18 см. Найдите АВ и cos A.

• Применим теорему Пифагора к треугольнику BDC:

\[BC = \sqrt{BD^2 + DC^2} = \sqrt{24^2 + 18^2} = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 \text{ см}\]

• Теперь найдем \(cos C\):

\[cos C = \frac{DC}{BC} = \frac{18}{30} = 0.6\]

• Угол A равен углу C, значит \(cos A = cos C = 0.6\):

\[cos A = 0.8\]

2. Диагональ АС прямоугольника ABCD равна 8 см и составляет со стороной AD угол в 45°. Найдите площадь прямоугольника.

• В прямоугольнике ABCD диагональ AC образует с AD угол 45°.
• Тогда AD и CD равны:

\[AD = CD = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \text{ см}\]

• Площадь прямоугольника:

\[S = AD \cdot CD = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 \text{ см}^2\]

3. В прямоугольной трапеции один из углов равен 135°, средняя линия равна 18 см.

• Т.к. угол равен 135°, то другой угол равен 45°.
• Разница оснований равна высоте трапеции:

\[h = a - b\]

• Высота трапеции:

\[h = \frac{a + b}{2} = 18\]

• Площадь трапеции:

\[S = h \cdot m = 18 \cdot 4 = 72 \text{ см}^2\]