7 класс Карточка 19 1. Докажите, что в прямоугольном треугольнике один из углов ра вен 30°, если катет в 2 раза меньше гипотенузы. 2. Докажите, что если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую. Доказательство приведи- те методом от противного. 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 65 см, его боко- вая сторона на 5 см меньше основания. Найдите стороны треугольника. 7 класс Карточка 10 1. Определение равнобедренного треугольника. Теорема о свойствах углов при его основании. 2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треуголь ника. 3. На рисунке ZDBC = ZCAD, BO = AO Докажите, что ∠C = D. Найдите АС, если BD = 12 см. C D B A Карточка 9 7 класс 1. Теорема о единственности перпендикуляра, проведённого из дан- ной точки к данной прямой. 2. Неравенство треугольника.

Карточка 19

1. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Доказательство:

   • Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°, и катет AC в два раза меньше гипотенузы AB.
   • На гипотенузе AB отложим отрезок AD, равный AC. Получим равнобедренный треугольник ADC (AC = AD).
   • Так как AC = 1/2 AB, то AD = DB, и треугольник ADC равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: ∠ACD = ∠ADC.
   • ∠ADC – внешний угол треугольника DBC, поэтому ∠ADC = ∠DBC + ∠DCB. Так как треугольник ADC равнобедренный, ∠ACD = ∠ADC.
   • Поскольку ∠ACD = ∠DBC + ∠DCB и ∠DBC = ∠DCB (так как BD = DC), то ∠ACD = 2∠DBC.
   • Сумма углов треугольника ABC равна 180°, ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°. Заменим ∠ACB на 90° и выразим ∠ABC через ∠ACD.
   • ∠BAC + ∠ABC = 90°. Так как ∠ACD = 2∠DBC и ∠DBC = ∠ABC, то ∠ACD = 2∠ABC.
   • ∠BAC + ∠ABC = 90°, и ∠ACD = 2∠ABC. Учитывая, что ∠ACD + ∠BAC = 90° (так как ADC – равнобедренный), получаем ∠ABC = 30°.

2. Доказательство методом от противного:

   • Предположим, что прямая a пересекает прямую b, параллельную прямой c, но не пересекает прямую c.
   • Тогда прямая a параллельна прямой c (так как не пересекает её).
   • Получается, что прямая a параллельна прямой b и прямой c, но b и c параллельны друг другу, и a пересекает b.
   • Это противоречие, так как прямая не может одновременно пересекать и быть параллельной другой прямой.
   • Следовательно, наше предположение неверно, и прямая a обязательно пересечет прямую c.

3. Пусть x - длина основания, тогда боковая сторона равна x - 5.

   Периметр равен: \[x + 2(x - 5) = 65\]

   Решаем уравнение:

   \[x + 2x - 10 = 65 \]

   \[3x = 75\]

   \[x = 25\]

   Основание: 25 см.

   Боковая сторона: 25 - 5 = 20 см.

Карточка 10

1. Определение равнобедренного треугольника: Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Теорема о свойствах углов при его основании: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот; против равных углов лежат равные стороны.

3. Дано: ∠DBC = ∠CAD, BO = AO. Доказать, что ∠C = ∠D. Найти AC, если BD = 12 см.

   Решение:

   • Рассмотрим треугольники AOB и COD.
   • AO = BO (дано).
   • ∠AOB = ∠COD (вертикальные углы).
   • ∠DBC = ∠CAD (дано).
   • Следовательно, треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (∠OAB = ∠OBA как углы при основании равнобедренного треугольника, и ∠CAD = ∠DBC по условию, значит, ∠OAB = ∠CAD).
   • Из равенства треугольников следует, что CO = DO и AO = BO.
   • Рассмотрим треугольники ADC и BCD.
   • AD = BC (так как AO + OD = BO + OC и AO = BO, OD = OC).
   • CD – общая сторона.
   • ∠DBC = ∠CAD (дано).
   • Следовательно, треугольники ADC и BCD равны по двум сторонам и углу между ними.
   • Из равенства треугольников следует, что ∠C = ∠D и AC = BD.
   • Так как BD = 12 см, то AC = 12 см.

Карточка 9

1. Теорема о единственности перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой: Из точки, не лежащей на данной прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр.

2. Неравенство треугольника: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Твой статус: Цифровой Геометр

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей