11 класс ПО ТЕМЕ: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «Интеграл и его применение. Системы уравнений» Контрольная работа Вариант 4 №1. Для функции f(x) = 3x²-5 найдите первообразную, график которой проходит через точку А(1;2) №2. Вычислите интеграл: a) (x³-3x² + 2) dx б) Scos2x dx в) 5√x dx X г) cos² 2x dx A) д) √x-3 dx №3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой у=(x+2)², прямыми х=-3 и х=0 и осью Ох. *б) графиком функции у при х<0, 4 X параболой v = x²+4x-1

№1.

Для функции f(x) = 3x² - 5 найдем первообразную, график которой проходит через точку A(1; 2).

Первообразная функции f(x) имеет вид: \[F(x) = \int (3x^2 - 5) dx = x^3 - 5x + C\]

Чтобы найти значение C, используем координаты точки A(1; 2): \[2 = 1^3 - 5\cdot1 + C\] \[2 = 1 - 5 + C\] \[C = 6\]

Итак, искомая первообразная: \[F(x) = x^3 - 5x + 6\]

Ответ: F(x) = x³ - 5x + 6

№2. Вычислите интегралы:

а) ∫₋₁¹ (x³ - 3x² + 2) dx

\[\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{1}{4} - 1 + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} + 1 - 2 \right) = \frac{1}{4} - 1 + 2 - \frac{1}{4} - 1 + 2 = 2\]

Ответ: 2

б) ∫₀^(π/4) cos2x dx

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos(2x) dx = \left[ \frac{1}{2} sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} sin(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} sin(0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 0 = \frac{1}{2}\]

Ответ: 1/2

в) ∫₁⁴ (5√x / x) dx

\[\int_{1}^{4} \frac{5\sqrt{x}}{x} dx = 5 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 5 \cdot [2\sqrt{x}]_{1}^{4} = 10 \cdot (\sqrt{4} - \sqrt{1}) = 10 \cdot (2 - 1) = 10\]

Ответ: 10

г) ∫₋(π/6) cos²2x dx

∫₋(π/6) cos²2x dx = ∫₋(π/6) (1 + cos4x)/2 dx = (1/2)∫₋(π/6) dx + (1/2)∫₋(π/6) cos4x dx

= (1/2)[x]₋(π/6) + (1/8)[sin4x]₋(π/6) = (1/2)(π/6 - (-π/6)) + (1/8)(sin(4π/6) - sin(-4π/6))

= (1/2)(π/3) + (1/8)(sin(2π/3) + sin(2π/3)) = π/6 + (1/8)(√3/2 + √3/2) = π/6 + (1/8)√3

Ответ: π/6 + √3/8

д) ∫₋₃⁴ √(x-3) dx

Так как подынтегральная функция √(x-3) определена только при x ≥ 3, а нижний предел интегрирования -3, то данный интеграл не имеет смысла.

Ответ: Интеграл не имеет смысла, так как подынтегральная функция не определена на всем отрезке интегрирования.

№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) параболой y=(x+2)², прямыми x=-3 и x=0 и осью Ox.

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = (x+2)², прямыми x = -3, x = 0 и осью Ox, находится как определенный интеграл от -3 до 0 функции (x+2)²: \[S = \int_{-3}^{0} (x+2)^2 dx = \int_{-3}^{0} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-3}^{0} = 0 - \left( \frac{(-3)^3}{3} + 2(-3)^2 + 4(-3) \right) = 0 - (-9 + 18 - 12) = 0 - (-3) = 3\]

Ответ: 3

б) *б) графиком функции y = 4/x при x<0, параболой y = x²+4x-1.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции y = 4/x при x < 0 и параболой y = x² + 4x - 1, нужно найти точки пересечения этих графиков и вычислить интеграл от разности функций на соответствующем интервале.

Уравнение для точек пересечения: 4/x = x² + 4x - 1

Преобразуем уравнение: x³ + 4x² - x - 4 = 0

Разложим на множители: x²(x + 4) - (x + 4) = 0

(x² - 1)(x + 4) = 0

(x - 1)(x + 1)(x + 4) = 0

Корни уравнения: x = 1, x = -1, x = -4. Так как x < 0, выбираем корни x = -1 и x = -4.

Теперь найдем площадь фигуры как интеграл от разности функций: S = ∫₋₄⁻¹ (x² + 4x - 1 - 4/x) dx

S = ∫₋₄⁻¹ (x² + 4x - 1 - 4/x) dx = [x³/3 + 2x² - x - 4ln|x|]₋₄⁻¹

S = ((-1)³/3 + 2(-1)² - (-1) - 4ln|-1|) - ((-4)³/3 + 2(-4)² - (-4) - 4ln|-4|)

S = (-1/3 + 2 + 1 - 0) - (-64/3 + 32 + 4 - 4ln(4))

S = (-1/3 + 3) - (-64/3 + 36 - 4ln(4))

S = 8/3 - (44/3 - 4ln(4))

S = 8/3 - 44/3 + 4ln(4)

S = -36/3 + 4ln(4)

S = -12 + 4ln(4)

S = 4ln(4) - 12

S ≈ -6.45

Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль: S ≈ 6.45

Ответ: 4ln(4) - 12 ≈ -6.45